Моделювання поверхонь та їх оцінка

Для моделювання безперервних поверхонь на основі дискретного масиву даних використовується процедура локальної інтерполяції, аналогічна до тієї, що застосовується при інтерполяції методом зваженого ковзного усереднювання, відповідно до якої розрахункове значення змінної z у деякій точці простору x₀ задається виразом:

(8.13)

де z(x_i) –значення змінної z у і-х точках простору (комірках растра), отримані на основі вимірювань або спостережень; l_і – вагові коефіцієнти для цих значень.

Для визначення вагових коефіцієнтів l_i, що забезпечують мінімум похибки при заданому масиві просторово-координованих даних, використовується оптимізована варіограмна модель. Процедура визначення вагових коефіцієнтів лінійної моделі (8.13) базується на теорії випадкових процесів, виходячи з якої дисперсія оцінки змінної z(х) може бути записана як функція значень варіограми між всіма парами проб (вимірювань), а також між всіма пробами (вимірюваннями) і оцінюваною точкою (х₀), і значень вагових коефіцієнтів:

(8.14)

де – дисперсія відхилень оціночного (прогнозного) значення змінної в точці оцінювання (прогнозу) від істинного, тобто похибка оцінювання (прогнозу), або «кригінговська дисперсія»; і – варіограми змінної z між точкою оцінювання x₀ і точками вимірювань x_i, і між точками вимірювань x_iі x_j, відповідно визначувані з використанням оптимізованої варіограми; N – кількість точок вимірювань в околах точки х₀ радіусом а; g(0) – залишкова дисперсія варіограмної моделі, тобто c₀ (nugget).

Задача оптимальної інтерполяції, таким чином, полягає в знаходженні такого набору вагових коефіцієнтів l_i, який би забезпечував максимальну точність оцінки, тобто мінімальну дисперсію s_e. Отже, постає задача мінімізації функції дисперсії, розв’язком якої є ті вагові коефіцієнти, які цей мінімум забезпечують.

Відомо, що будь-який екстремум функції багатьох змінних супроводжується рівністю нулю всіх часткових похідних у точці екстремуму. В нашому випадку всі часткові похідні є лінійними функціями, і пошук екстремуму зводиться до розв’язання системи лінійних рівнянь. Позитивна напіввизначеність функції варіограми забезпечує, що розв’язання системи існуватиме, буде єдиним і відповідатиме саме мінімуму дисперсії, а не максимуму (Мальцев, 1993).

Для забезпечення однієї з головних вимог задачі оцінювання – вимоги незміщеності оцінки – в систему (8.14) необхідно ввести додаткове рівняння, що визначає умову рівності одиниці суми всіх вагових коефіцієнтів, або, що те ж саме, додати відповідний доданок у рівняння функції, що мінімізується:

(8.15)

де – множник Лагранжа.

Обчислюючи і прирівнюючи до нуля часткові похідні, одержуємо систему лінійних рівнянь:

(8.16)

де є середнє значення варіограми між точками А і B.

Розв’язком системи (8.16) є і шукані вагові коефіцієнти, і значення множника Лагранжа, які дозволяють окрім, власне оцінки змінної z, у будь-якій точці простору або комірці растра визначити значення кригінгової дисперсії.

Для знаходження значень змінної в тих точках простору, де вимірювання не проводилися, використовується модель (8.13) зі знайденими ваговими коефіцієнтами. При використанні растрової моделі просторових даних оцінка (прогноз) проводиться для всіх комірок растра з невідомими значеннями змінної. У комірках, де значення змінної відомі, ці значення беруться як оціночні. В результаті будується (моделюється) безперервна поверхня z(x), що задовольняє сформульовані вище вимоги – мінімуму похибки і незміщенності.

Дисперсія відхилень оцінного (прогнозного) значення змінної від істинного, тобто похибка оцінювання (прогнозу), для кожної точки простору (комірки растра) обчислюється за формулою (8.14).

Описаний метод просторової інтерполяції відомий як звичайний лінійний (або ординарний) точковий кригінг.