Побудова і оптимізація варіограмної моделі

Зазвичай варіограма в прямокутній системі координат з осями g(h) (ординат) і h(абсцис) має вигляд кривої, що перетинає вісь ординат на деякій відстані від осі абсцис (рис. 8.4). Позитивне значення g(h) при h=0 (c₀) – це оцінка e¢¢ – просторово некорельованого шуму і в англомовній літературі позначається як nugget (що в перекладі означає «самородок»). Це – залишкова варіація, тобто дисперсія похибок вимірювань, а також тих просторових змін, які мають характерний розмір, набагато менший, ніж крок випробування.

Рис. 8.4. Схематизована експериментальна варіограма перехідного

типу з позначенням основних параметрів

Із збільшенням кроку варіограма збільшується до максимальних значень при деякому значенні а,яке називають радіусом кореляції, радіусом залучення або просто – радіусом (англомовний еквівалент – range). При подальшому збільшенні кроку варіограма не збільшується, тобто втрачається залежність різниці значень в двох місцеположеннях від відстані між ними. Цю величину “насичення” варіограми називають поріг (sill). Таким чином, а показує область відстаней, в межах яких існує залежність (кореляція) між значеннями змінної. За межами цієї області залежності між значеннями змінної практично немає.

Форма варіограми абсолютно безумовно свідчить про вигляд просторової варіації, що має місце в межах даної площі, і може допомогти вирішити, як діяти далі.

Відома достатньо велика кількість варіограмних моделей, які мають різну поширеність на практиці. Найбільш широко застосовуються сферична, експоненціальна і гауссівська моделі.

Коли залишкова дисперсія істотна, але не дуже велика (рис. 8.5), варіограма описується сферичною моделлю:

(8.9)

де а – радіус; h –крок; c₀ – залишкова варіація; с₁ – перевищення між пороговим значенням варіограми і залишковою варіацією. Модель спочатку була розроблена як модель кристалізації від центрів, але задовільно описує і деякі інші структури. Зокрема, вона добре описує більшість об’єктів з кінцевим інтервалом взаємовпливу вимірювань (спостережень).

Якщо залишкова варіація і поріг виражені виразно, а розмах – приблизно, варіограма краще всього описується експоненціальною моделлю:

. (8.10)

Незважаючи на явну схожість її графіка зі сферичною, модель має декілька істотних особливостей. По-перше, термін "радіус" в ній не зовсім коректний. Ця модель виходить на поріг асимптотично, залишаючи навіть для найдальших проб деякий малий взаємовплив. Разом з тим на відстані радіуса візуально відрізнити її значення від порогу буває складно. По-друге, що важливо, вона задає зовсім іншу поведінку інтерполяційних алгоритмів на малих відстанях, "ослабляючи" міцність зв’язку в нулі і знижуючи, таким чином, тут достовірність оцінки.

Якщо зміни варіограми незначні, а залишкова варіація мала порівняно з просторово залежною випадковою варіацією e¢(x), тоді варіограма найкращим чином може бути описана гауссівською моделлю:

. (8.11)

Гауссівська модель задає дуже високу міцність взаємозв’язку в нулі (характерну для потенційних полів) і в той самий час має поріг і радіус, хоча на поріг вона, як і експоненціальна, виходить не на значенні радіуса, а асимптотично. Особливості поведінки на малих відстанях дозволяють її використовувати замість процедур нелінійної геостатистики для об’єктів із значущим локальним трендом.

Всі ці моделі відомі як перехідні варіограми (інша назва – «варіограми з порогом»), тому що структура просторової кореляції міняється із зростанням h; неперехідні варіограми не мають порогу в межах досліджуваної території і можуть моделюватися лінійною моделлю:

(8.12)

де b – тангенс кута нахилу варіограми до осі абсцис. Лінійні варіограми характерні для змінних (або процесів), що змінюються при будь-яких масштабах їх розгляду. Прикладом є броунівський рух. У більшості випадків модель цілком задовільно описує топографічні поверхні.

Відомі також і інші варіограмні моделі, зокрема, логарифмічна, степенева, періодична, Бесселя. Їх стисла характеристика наведена в таблиці 8.1.

Т а б л и ц я 8.1. Варіограмні моделі (при с₀=0 і с₁=1.0) (Pebesma, 2001)

Модель	g (h)	Діапазон h
Логарифмічна	0 log (h + a)	h=0 h > 0
Степенева	ha	h ³ 0, 0 < a £ 2
Періодична		h ³ 0
Бесселя		h ³ 0
Пентасферична		0 £ h £ a

*K₁ – модифікована функція Бесселя першого порядку.

Варіограмні моделі експоненціальна, гауссівська і Бесселя досягають насичення (порогу) асимптотично (при h ® ¥). Ефективна величина радіуса – це відстань, при якій варіограма досягає 95% її максимуму. Для експоненціальної моделі – це 3a, для гауссівської – і для бесселівської – 4a. Логарифмічна і степенева варіограмні моделі необмежені (безперервно зростають із зростанням h) і, таким чином, не підходять для коваріаційого моделювання або простого кригінгу.

Процес побудови оптимальної варіограмної моделі ґрунтується на методі найменших квадратів і достатньо трудомісткий. Сучасні геостатистичні пакети зазвичай містять інтерактивну процедуру побудови варіограмних моделей, при якій всі трудомісткі процедури виконує комп’ютер. Користувач же, виходячи з розміщення точок на емпіричній варіограмі, вибирає найперспективніші теоретичні моделі, запускає процедури визначення їх параметрів, а потім на основі порівняльного аналізу вибирає з них найбільш відповідну (оптимальну) для даного випадку.

Оптимальна варіограмна модель використовується для моделювання безперервних поверхонь на основі даного дискретного набору точок, а також для оцінки точності моделювання в кожній точці простору (або комірці растра).