Знакозмінні ряди

Урок № 33

Контрольні запитання.

1. Дати означення лінійного диференціального рівняння другого порядку.

2. В чому полягає різниця між однорідними і неоднорідними диференціальними рівняннями?

3. Як залежить розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами від розв’язків характеристичного рівняння?

4. В чому полягає задача Коші для рівнянь другого порядку?

Література: [1] -§ 62, 63.

Тема: Знакозмінні ряди та ряди з довільними членами.

План:

1. Знакозмінні ряди та їх збіжність.

2. Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів.

Теорема 1 (Коші).Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення 1. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення 2.Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження. 1.Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.

Зауваження 2.Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд .

l Загальний член ряду залежно від n може бути як додатним, так і від’ємним. Отже, ряд — знакозмінний. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного: . Цей ряд буде знакододатним , так що для дослідження його на збіжність можна використати ознаки збіжності знакододатних рядів. Скористаємось ознакою порівняння рядів: — ряд порівняння, він збігається, як ряд Діріхле, з p = 2 > 1. Отже, за ознакою порівняння (теорема 9.7) ряд збігається, а це означає, що за теоремою Коші збігається і ряд , причому збігається абсолютно.