Позиционные системы счисления
Совокупность правил записи чисел называется системой счисления. Наиболее часто используются позиционные системы счисления, в которых целое положительное число записывается в виде последовательности символов enen-1...ep...e2e1, а вес каждого символа ер определяется его позицией в записи числа. В дальнейшем будут использоваться только позиционные системы счисления, в которых вес символа ер равен qр-1, где q — основание системы счисления, а ер=0, 1,...,q—1- символы данной системы счисления. Тогда любое целое положительное число Е в системе счисления с основанием q можно записать в виде Е= (en...ep..,e1)q=enqn-l+...+epqр-l+...+e1q0 = 
. При вычислении суммы полагаем, что все значения ер и qр-l представлены в привычной десятичной системе счисления.
Максимальное n-разрядное число получается при ep=q—1 для всех р: 
. Из этого следует, что существует qn различных n-разрядных чисел (с учетом нуля). В таблице 1.1 показан перевод 16 чисел из одной системы в другую при наиболее часто используемых основаниях систем счисления q=2, 10, 8, 16.
Таблица 1.1 – Перевод 16 чисел из одной системы в другую
| 
| 
| 
|
| 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 | A B C D E F |
Перевод чисел из системы счисления с произвольным основанием q в десятичную систему счисления (q=10) выполняется по приведенным формулам, для чего требуется перевести в десятичную систему счисления только числа ер и q. Несколько сложнее произвести перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q ≠10. Наиболее просто такой перевод выполняется для q=2, 8, 16. Пусть требуется перевести число (1987)10 в указанные системы счисления. Перевод осуществляется последовательным делением числа, заданного в десятичной системе счислений, на q =8:
Таким образом, (1987)10= (3703)8. Для перевода полученного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую цифру представить в двоичном коде: (3703)8= (011.111.000.011)2. Перевод полученного двоичного числа в 16-ричную систему счисления выполняется его разбиением на тетрады (тетрада — четыре разряда) и переводом каждой тетрады в 16-ричную систему счисления: (0111.1100.0011)2= (7С3)16. Итак, получили (1987)10= (3703)8= (11111000011)2= (7С3)16.
Для обозначения произвольных десятичных чисел используются символы i, j и тому подобное, а двоичные числа записываются в виде еп...ер...е1, где ер=0 или 1. Равенства для десятичных и двоичных чисел записываются, опуская индекс, указывающий основание системы счисления i= еп...ер...е1.