Радиусы инерции и моменты сопротивления

Величины главных моментов инерции

Определение положения главных осей инерции и

Начальную произвольную центральную систему координат z, y надо повернуть на такой угол , чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (3.12), получим

. (3.13)

Формула для определения моментов инерции относительно главных осей имеет вид:

. (3.14)

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции:

, (3.15)

где – радиус инерции относительно оси z .

Из выражения (3.15) следует, что

, . (3.16)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

, . (3.17)

Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.

Рассмотрим ещё одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления. Момент сопротивления равен моменту инерции, деленному на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см³).

Для прямоугольника (см. рис. 3.2) , поэтому осевые моменты сопротивления

, . (3.18)

Для круга ; , поэтому полярный момент сопротивления

. (3.19)

Для круга , , поэтому осевой момент сопротивления

. (3.20)

З а д а н и е

Для балки, поперечное сечение которой показано на рис. 3.6, необходимо выполнить следующие расчеты.

Часть I. Произвести расчет геометрических характеристик плоского сечения.

1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения.

2. Определить положение главных осей инерции.

3. Вычислить значения главных моментов инерции сечения.

4. Вычислить величину главных радиусов инерции, построить эллипс инерции и подсчитать моменты сопротивления.

Часть II. Определить величину допускаемой нагрузки для балки, показанной на рис. 3.7, если известно допускаемое напряжение

МПа.

Исходные данные в соответствии с шифрами взять из табл. 3.1.

Таблица 3.1

№ строки	Схема	H	h		t	Номер профиля
Рис. 3.6	Рис. 3.7	мм	м
								1,5	1,0
								1,6	1,1
								1,7	1,2
								1,8	1,3
								1,9	1,4
								2,0	1,5
								2,1	1,6
								2,2	1,7
								2,3	1,8
								2,4	1,9
	е	е	д	д	б	в	е	а	а

Примечание: каждый номер профиля уголка в сортаменте имеет несколько толщин. При назначении исходных данных можно взять любую толщину.