Методика формування загального вміння розв’язувати задачі 2 страница

Також корисними є завдання на постановку запитання до даної умови, на яке можна відповісти за поданим числовим виразом.

Задачі із зайвими числовими даними.Під час розв’язання задач із зайвими числовими даними відбувається навчання вибору числових даних, які необхідні для відповіді на запитання задачі. Наприклад:

Наталці мама купила 27 зошитів. Наприкінці навчальної чверті в неї залишилося 2 зошити в лінійку та 5 зошитів у клітинку. Скільки всього зошитів залишилося в Наталки?

– Яке число не брало участі в розв’язанні задачі? Що воно означає? Яке повинно бути запитання, щоб число 27 брало участь у розв’язанні задачі? Складіть задачу з числом, яке ми знайшли при розв’язанні задачі, та числом 27. Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання цієї задачі?

– Поставте запитання до даної умови, щоб число 27 брало участь у розв’язанні задачі.

Чи можна відразу відповісти на запитання цієї задачі? Чому? Прокоментуйте міркування за схемою аналізу. Зверніть увагу, схема аналізу складається з двох „трикутників” – циклів. Як ви вважаєте, чому?

? Скільки зошитів витратили ?

2-а задача

Скільки було? Скільки всього залишилось?

1-а задача

Ск. залишилось у лінійку? Ск. залишил. у клітинку?

Задачі, в яких бракує числових даних. Метою розв’язання задач з недостатньою кількістю числових даних є формування в дітей уявлення про те, що не завжди можна відповісти на запитання задачі через відсутність числового даного. Це числове дане можна дібрати, але тоді учні отримують різні розв’язки, тому слід добирати додаткову умову, за якою дізнаємось про потрібне число. Наприклад:

На клумбі розцвіло 15 квіток. Для букету зрізали квітки. Скільки квіток залишилося?

– Розкажіть умову. Розкажіть запитання. Що цікавого ви помітили? (В умові не дістає числового даного.) Задайте додаткову умову. Про що ми дізнаємося спочатку? Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? Про що ми дізнаємося потім? Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? Розкажіть задачу з додатковою умовою. Чи можна відповісти відразу на її запитання? Чому? Розкажіть її розв’язання за схемою:

?

?

прості задачі. Діти вчаться складати задачу із двох пов’язаних між собою простих задач. Наприклад:

1. У дівчинки було 8 олівців. Вона купила ще 4 олівці. Скільки олівців стало в дівчинки?

2. У дівчинки олівців. Вона подарувала подрузі 6 олівців. Скільки олівців у неї залишилося?

Після розв’язання двох простих задач, учні встановлюють, що відповісти на запитання другої задачі неможливо, не відповівши на запитання першої задачі. Учитель радить поєднати ці дві задачі в одну та за поданою схемою аналізу, яка містить два цикли, пропонує учням пояснити міркування. На схемі аналізу виділяються трикутниками прості задачі, діти формулюють кожну з них і визначають їх порядок: перша проста задача – це задача, на запитання якої можна відповісти одразу; друга проста задача – це задача, на запитання якої не можна відповісти, не розв’язавши першу задачу .

Задачі з двома послідовними запитаннями.Мета роботи над задачами з двома послідоними запитаннями – продовжувати формувати в дітей уявлення про те, що існують такі запитання до даної умови, відповісти на які одразу не можна. Крім того, доцільним буде продовжувати формувати прийом аналізу в процесі пошуку розв’язання задачі. Наприклад:

У парку гуляло 6 дівчаток, а хлопчиків на 4 більше. Скільки хлопчиків гуляло в парку? Скільки всього дітей гуляло в парку?

Після розв’язання таких задач учні з’ясовують, що відповісти на друге запитання задачі неможливо, не відповівши на перше запитання, тому схеми аналізу, що стосуються відповідей на кожне запитання, поєднуються, і учні пояснюють міркування за поєднаною схемою. Далі учні визначають, на яке запитання можна відповісти одразу (Це запитання першої простої задачі, її на поєднаній схемі показано трикутником.), а на яке потім (Це запитання другої простої задачі, її теж показано на схемі трикутником).

Ознайомлення учнів з поняттям „складена задача”. Ознайомлення з поняттям „складена задача” та процесом її розв’язування слід проводити на різноманітних математичних структурах складених задач.

Метою етапу ознайомлення молодших школярів з поняттям „складена задача” є опрацювання трьох нових дій:

- проведення аналітичного пошуку розв’язування задачі, під час якого слід вибирати два числових даних для відповіді на певне запитання;

- виділення спочатку на схемі аналізу, а потім словесне формулювання кожної простої задачі, із яких складається дана задача;

- складання плану розв’язування задачі.

Істотним в організації діяльності учнів на даному етапі є її спрямованість не на розв’язання кожної окремої задачі, а на оволодіння даним комплексом умінь.

Поняття „складена задача”. Ознайомлення з процесом розв’язання складених задач.На цьому етапі починається формування поняття про складену задачу як про таку, що складається з кількох простих задач; про розв’язання складеної задачі як послідовне розв’язання простих задач, що вона містить. Крім того, тут певну увагу слід приділяти формуванню вміння аналізувати текст задачі та проводити аналітичний пошук розв’язування задачі і розбиття складеної задачі на прості.

Поняття „складена задача” можна ввести на основі порівняння двох задач, перша з яких - задача з двома послідовними запитаннями, а друга – складена задача. Наприклад:

Учні визначають, що обидва тексти – це задачі, але вони відрізняються тим, що перша задача містить два запитання, а друга – одне. Але ці задачі мають однакові умови і однакові запитання: друге запитання першої задачі таке саме, як запитання другої задачі. Учитель пропонує з’ясувати, що необхідно знати, щоб відповісти на це запитання. Учні пояснюють міркування за поданою схемою аналізу, в якій слід вписати потрібні числові дані та проставити знаки арифметичних дій, за допомогою яких відповімо на певне запитання. Учитель вимагає від учнів показати трикутниками на схемі прості задачі і сформулювати їх (показати опорні схеми таких задач), та визначити послідовність простих задач. Після розбиття складеної задачі на прості дітям повідомляється, що на запитання першої простої задачі відповімо першою дією, а на запитання другої простої задачі – другою дією. Таким чином складається план розв’язування задачі.

Отже, на запитання другої задачі ми не можемо відповісти відразу, виконавши одну арифметичну дію, – такі задачі називаються складеними, тому що складаються з кількох простих задач. Таким чином, діти визначають істотні ознаки простих (на запитання задачі можна відповісти відразу, однією арифметичною дією) та складених задач.

З метою формування поняття „складена задача” корисні завдання на порівняння двох задач, які мають однакові умови, але різні запитання. Наприклад :

Після розв’язання простої задачі учні з’ясовують, які зміни треба виконати в короткому запису та схематичному малюнку першої задачі, щоб одержати короткий запис та схематичний малюнок другої задачі, пояснюють числа задачі. Подальші міркування йдуть від запитання другої задачі „Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання другої задачі?” і за поданою схемою аналізу. В схемі аналізу записуючи відповідні числові дані та знаки арифметичних дій, учні виконують аналітичний пошук розв’язування. Далі учні знайомляться із записом розв’язання задачі двома діями – за зразком записують розв’язання даної задачі і пояснюють кожну дію.

Таким чином, учні переконуються, що існують задачі, на запитання яких не можна відповісти одразу, однією арифметичною дією, і такі задачі називаються складеними, бо складаються з кількох простих задач.

Для повноцінного засвоєння цього поняття слід пропонувати завдання на: підведення під поняття; вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання об’єкта; виведення наслідків про належність або не належність предмета до поняття. Наприклад:

1. Серед запропонованих задач виберіть і розв’яжіть тільки складені:

1) На дереві сиділо 7 горобців, а сорок – на 8 більше. Скільки сорок сиділо на дереві?

2) На дереві сиділо 7 горобців, а сорок – на 8 більше. Скільки всього птахів сиділо на дереві?

2. До якого виду належать задачі? Чому?

1) Бабуся випекла 7 пиріжків з капустою і 9 пиріжків з вишнями. 12-ма пиріжками вона пригостила онуків. Скільки пиріжків залишилося в бабусі?

2) На святі в дитячому садку в хорі співало 5 дівчаток і 7 хлопчиків. Скільки дітей співало в хорі?

3) Столяр виготовив 14 стільців, а табуретів на 5 менше. Скільки виробів виготовив столяр?

За допомогою запитань вчителя учні спонукаються до висновків: якщо задача складена, то її не можна розв’язати однією арифметичною дією; якщо задача проста, то її можна розв’язати однією арифметичною дією; якщо задача складена, то для її розв’язання треба виконати не менш, ніж дві арифметичні дії; якщо задача не проста, то вона складена.

Після того, як учні усвідомили відмінність складеної задачі від простої, слід перейти до навчання процесу розв’язування складених задач.

Формування вміння проводити аналітичний пошук розв’язування задачі.У завданнях, що подані на картках з друкованою основою, поки що подані схеми аналізу із записами про відповідні числові дані і шукані, але не всі учні читають їх – вони відповідають на запитання вчителя самостійно. Наведемо приклад картки з друкованою основою:

1.В автоперегонах стартувало 43 легкові машини і 21 вантажна машина. До фінішу прийшли 60 машин. Скільки машин не прийшло до фінішу?

? ск. маш. не прийшло до фінішу?

ск. всього маш. стартув.? ск. прийшло до фінішу?

ск. легкових маш.? ск. вантажних машин?

Треба зазначити, що для формування вміння виконувати аналітичний пошук розв’язування задачі повинні пропонуватися різноманітні математичні структури задач з тим, щоб попередити формальний підхід, обмежити запам’ятовування способу розв’язування і ставити учнів кожного разу в умови свідомого вибору числових даних для відповіді на запитання задачі. Тому на даному етапі застосовуються задачі: на знаходження суми, які містять просту задачу на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць; на знаходження остачі, які містять просту задачу на знаходження суми; на знаходження суми, які містять просту задачу на знаходження суми; на різницеве порівняння, які містять просту задачу на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць тощо.

Далі учні вчаться виділяти прості задачі не лише на схемі аналізу розв’язування,а й на короткому запису задачі. Тепер задачі подаються у вигляді тексту без схематичного зображення аналізу розв’язування задачі. Діти самі промовляють словесні конструкції аналізу, складають схему аналізу і коментують її. При формулюванні простих задач показуємо не їх опорні схеми, а виділяємо прямокутниками на короткому запису задачі.

Далі дітям подається пам’ятка, в якій відображений порядок роботи над складеною задачею. Учні читають завдання пам’ятки і встановлюють, які з них вони навчилися виконувати при розв’язанні простих задач, а які – при ознайомленні зі складеною задачею. Наприклад:

Мама зірвала з одного куща 5 помідорів, а з другого 4. Шість помідорів вона віддала дітям. Скільки помідорів залишилося?

- Про що йде мова в задачі? (В задачі йдеться про помідори. Спочатку мама зірвала помідори з одного куща – 5, і з другого куща – 4, потім вона віддала 6 помідорів дітям. Запитується, скільки помідорів залишилося.) Проаналізуємо задачне формулювання. Розкажіть умову задачі. Розкажіть запитання задачі. Виділіть числові дані. Яке число є шуканим?

- Розглянемо короткий запис задачі (на дошці подається схематичний короткий запис). Прочитайте ключові слова.(Зірвала, віддала, залишилося.) Чи відомо нам, скільки помідорів зірвала мама? (Відомо, що мама зірвала 5 помідорів і ще 4 помідори) Чи знаємо ми скільки помідорів вона віддала дітям? (Відомо – 6 помідорів.)Яке запитання задачі? (Скільки помідорів залишилося в мами?).

5 4

Зірвала – ?, 5 п. і 4 п.

Віддала – 6 п.

Залишилося - ?

? 6

– За коротким записом поясніть числові дані задачі. (Число 5 позначає, скільки помідорів зірвала мама з першого куща, число 4 позначає, скільки помідорів зірвала мама з другого куща, число 6 позначає, скільки помідорів віддала мама дітям.) Про що запитується в задачі? (У задачі запитується про те, скільки помідорів залишилося в мами.) Покажіть опорну схему, яку нагадує ця задача. (Це опорна схема задачі на знаходження остачі.)

- Зробіть схематичний малюнок. За схематичним малюнком поясніть, що означає кожний відрізок.

		– Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі “Скільки помідорів залишилося?” (Для того, щоб відповісти на запитання задачі, треба знати два числові значення: І – скільки всього помідорів зірвала мама, поки ще не знаємо, та ІІ –скільки помідорів вона віддала дітям, відомо - 6.

?

2-га проста

задача

? - 6

1-ша проста

5 + 4 задача

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.) Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки помідорів зірвала мама.)

- Що потрібно знати, щоб дізнатися, скільки помідорів зірвала мама? (Треба знати два числові значення: І – скільки помідорів вона зірвала з першого куща, відомо - 5, та ІІ – скільки помідорів вона зірвала з другого куща ,відомо - 4.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання?(Можна, тому що ми знаємо обидва числові дані.) Ми прийшли від запитання задачі до числових даних, тому аналіз закінчено.

- Розкладемо цю задачу на дві прості задачі. Сформулюйте першу просту задачу. (З першого куща мама зірвала 5 помідорів, а з другого 4 помідори. Скільки всього помідорів зірвала мама?) Покажемо її в короткому запису. Сформулюйте другу просту задачу. (Мама зірвала всього помідорів, 6 помідорів вона віддала дітям. Скільки помідорів залишилося в мами?) Покажемо її на короткому запису.

- Складемо план розв’язування задачі. Про що ми дізнаємося в першій простій задачі? (Ми дізнаємося, скільки всього помідорів зірвала мама.) Про що ми дізнаємося в другій простій задачі? (Скільки помідорів залишилося в мами?) Запишіть розв’язання по діях з поясненням.

1) 5+4=9(п.) всього зірвала мама

2) 9-6=3(п.) залишилося

- Повторіть запитання задачі. Розкажіть відповідь на запитання задачі. (Відповідь: 3 помідори залишилося в мами.)

- Скільки числових даних в умові цієї задачі? З яких простих задач складається дана задача. Яка задача є першою? Скільки числових даних вона містить? Яка задача є другою? Що можна сказати про її числові дані?

Формування загального вміння розв’язувати складені задачі здійснюємо на різноманітних математичних структурах складених задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв’язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі порівняння зі схожими простими задачами або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури. Таким чином, досліджується вплив цих змін на розв’язання задачі; задачі нової математичної структури співставляються з задачами вже відомими, що полегшує їх засвоєння. Крім того, застосовується й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами. У цьому випадку учні опиняються в умовах необхідності відтворення повного складу дій, які містить загальне вміння розв’язувати складені задачі.

Отже, якщо учневі трапляється задача, яку він не вміє розв’язувати, то він виконує поступово, одну за одною, дії, що складають загальне вміння. А якщо математична структура задачі дитині відома, то відразу після виконання короткого запису та (або) схематичного малюнка вона розбиває задачу на прості і формулює план її розв’язування.

У другому класі ми формуємо наступні дії, що складають загальне вміння розв’язувати складені задачі: міркувати від запитання задачі до числових даних – аналіз; розбивати задачу на прості; встановлювати порядок розв’язування простих задач; формулювати план розв’язування задачі; записувати розв’язання по діях з поясненням; складати вираз, який є розв’язанням задачі; переходити до розв’язання задачі іншим способом; досліджувати вплив зміни умови або запитання задачі на її розв’язання.

Усі основні дії, які дозволяють учневі самостійно розв’язувати складені задачі, формуються до 3-го класу. У 3-му класі опрацьовується дія міркування від числових даних до запитання задачі, а вміння розв’язувати задачі набуває подальшого засвоєння, скорочується – учні від короткого запису задачі переходять до виділення простих задач і плану розв’язування задачі. На прикладі задачі на знаходження невідомих трьох доданків за сумою трьох та сумами двох чисел здійснюється попереднє ознайомлення з діями визначення істотних ознак задач, узагальнення їх математичних структур та способу розв’язування. Формування цих дій відбувається на задачах на знаходження суми або різницеве чи кратне порівняння двох добутків або часток. Отже, усі складові загального вміння розв’язувати складені задачі формуються до 4-го класу, тому в цей час увага зосереджується на формуванні вмінь розв’язувати задачі окремих видів, а загальне вміння розв’язувати складені задачі набуває подальшого засвоєння на прикладі задач нових математичних структур і задач, які містять дроби.

Методика формування вміння розв’язувати задачі певних видів

Розкриємо загальні підходи методики формування в молодших школярів умінь розв’язувати задачі певних видів. Ця методика передбачає формування в молодших школярів уміння співвідносити дану задачу з раніше вивченими і впізнавати задачу вивченої математичної структури; уміння актуалізувати узагальнений спосіб розв’язування задач даного виду, а потім його реалізувати.

Нагадаємо, що типові задачі ми поділяємо на три групи:

І. Задачі, що містять однакову (сталу) величину: задачі на знаходження четвертого пропорційного, задачі на пропорційне ділення, задачі на знаходження невідомих за двома різницями, задачі на подвійне зведення до одиниці.

ІІ. Задачі на процеси: задачі на спільну роботу, на рух.

Розглянемо задачі кожної групи докладно.

І. Вивчення задач, що містять однакову (сталу) величину, відбувається в наступному порядку: 1) задачі на знаходження четвертого пропорційного (спосіб знаходження однакової величини – 3-й клас); 2) задачі на подвійне зведення до одиниці (3-й класс); 3) задачі на знаходження четвертого пропорційного (спосіб відношень – 4-й клас); 4) задачі на подвійне зведення до одиниці (4-й клас); 5) задачі на пропорційне ділення (4-й клас); 5) задачі на знаходження невідомих за двома різницями (4-й клас).

1. Методика формування в молодших школярів умінь розв’язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного (3-4 клас).

Істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного: ці задачі містять два випадки; ці задачі містять три взаємопов’язані величини; одна з величин є однаковою для двох випадків; стосовно однієї величини дані два числові значення; стосовно іншої величини дано лише одне числове значення, а інше є шуканим.

Задачі на знаходження четвертого пропорційного розв’язуються двома способами: способом знаходження однакової (сталої) величини та способом відношень.

Спосіб знаходження однакової величини

1) Першою дією знаходимо значення однакової величини за відомими значеннями двох інших величин стосовно одного з випадків.

2) Другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Спосіб відношень

1) Першою дією дізнаємося про числове значення відношення між двома відомими числовими даними одної з величин. Робимо висновок про числове значення і характер відношення між числовим даним і шуканим, стосовно другої величини.

2) Другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Ознайомлення із задачами цього виду здійснюється через розв’язування двох послідовних простих задач з взаємопов’язаними величинами та поєднання їх в одну (Задачі: 1) Маса 6-ти однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 1-єї гуски?; 2) Маса гуски 5 кг. Яка маса 4-х таких самих гусей?).

У результаті зміни групи взаємопов’язаних величин або зміни числових даних, або зміни однакової величини; або зміни шуканої величини при певній однаковій величині, відбувається дослідження впливу кожної зміни на план розв’язування задачі, визначаються істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного та узагальнюються спосіб розв’язування (мал. 1).

2. Методика формування вмінь розв’язувати задачі на пропорційне ділення та задачі на знаходження невідомих за двома різницями (4-й клас).