Методи стрільби

Чисельні методи розв’язання крайових задач

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Лекція № 10

Як зазначалося вище, задача, що заключається в розв’язку звичайного диференційного рівняння при додаткових умовах, що поставлені при декількох значеннях незалежної змінної, називається крайовою.

Розглянемо звичайне диференційне рівняння другого порядку

(10.1)

при граничних умовах

(10.2)

Рівняння більш високих порядків можна вирішувати тими ж методами, які поділимо на дві групи:

1. Методи, основані на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коши.

2. Методи, в яких використовується кінцево-різницева форма диференціального рівняння.

Якщо звичайне диференційне рівняння другого порядку є лінійним, тобто має вигляд

(10.3)

при додаткових умовах

(10.4)

то крайову задачу можна звести до задачі Коши за допомогою початкових умов

і

Знайшовши розв’язок можна поставити другі граничні умови

і

і отримати другий розв’язок . Якщо а при чому то розв’язок

(10.5)

задовольняє обом початковим граничним умовам.

Якщо вирішується нелінійне звичайне диференційне рівняння, то розв’язок крайової задачі можна звести до розв’язку декількох задач Коши, послідовно вводячи в початкові умови значення :

(10.6)

і прагнучи найти розв’язок, який задовольняє умову При цьому може допомогти інтерполяція, що дозволяє побудувати впорядковану послідовність і звести до мінімуму об’єм обчислень.