Основні визначення та поняття

Рівняння, у якому невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала, називається диференціальним рівнянням. Наприклад,

,

Якщо невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, залежить тільки від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним. Наприклад, диференціальні рівняння

відносяться до звичайних.

Якщо ж невідома функція, що входить у диференціальне рівняння, є функцією двох чи більшого числа незалежних змінних, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням у частинних похідних. Наприклад, диференціальне рівняння

відноситься до рівняння в частинних похідних.

Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної (чи диференціала), що входить у рівняння.

Розглянемо звичайні диференціальні рівняння.

Звичайне диференціальне рівняння n-го порядку в самому загальному випадку містить незалежну змінну, невідому функцію і її похідні чи диференціали до n-го порядку включно і має вид

(9.1)

У цьому рівнянні х - незалежна змінна, у - невідома функція, - похідні цієї функції.

Розв'язком (чи інтегралом) рівняння (9.1) називається будь-яка диференціюєма функція , що задовольняє цьому рівнянню, тобто така, після підстановки, якої у рівняння (9.1) воно перетворюється в тотожність.

Графік розв’язку звичайного диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

Розв’язок диференціального рівняння, що містить стільки незалежних довільних (постійних) параметрів, який його порядок, називається загальним розв'язком (чи загальним інтегралом) цього рівняння.

Рисунок 9.1. – Сімейство інтегральних кривих диференціального рівняння (9.1)

Геометрично загальний розв’язок диференціального рівняння являє собою сімейство інтегральних кривих цього рівняння (рис. 9.1).

Частинним розв'язком диференціального рівняння називається будь-який розв’язок, що може бути отриманий з загального при визначених числових значеннях довільних постійних (рис. 9.1). Довільні постійні, що вхідять в загальний розв’язок, визначаються з початкових або крайових умов.

Задача з початковими умовами ставиться так: знайти розв’язок рівняння , що задовольняє додатковим умовам, які складаються в тім, що розв’язок , повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1)-го порядку задані числові значення при заданому числовому значенні незалежної змінної х.

Такі умови називаються початковими умовами, а задача відшукання розв‘язку диференціального рівняння (9.1), що задовольняє заданим початковим умовам - задачею з початковими умовами, або задачею Коші.

Задача з крайовими умовами ставиться так: знайти розв’язок рівняння , що задовольняє додатковим умовам, які складаються в тім, що розв’язок , повинний приймати разом зі своїми похідними до (n-1)-го порядку задані числові значення при заданому числовому значенні та при заданому числовому значені незалежної змінної х.

Такі умови називаються крайовими умовами, а задача відшукання розв‘язку диференціального рівняння (9.1), що задовольняє заданим крайовим умовам – крайовою задачею.

У випадку рівняння першого порядку, тобто при n=1, одержуємо задачу Коші для рівняння з початковою умовою

Геометрично задача Коші для рівняння першого порядку полягає в тому, що з усіх інтегральних кривих, що представляють собою загальний розв‘язок, потрібно знайти ту інтегральну криву, що проходить через точку М₀ з координатами (рис.9.1).

Часто в задачі Коші у ролі незалежної змінної виступає час t. Прикладом може бути задача про вільні коливання тіла, яке підвішене на пружині. Рухи такого тіла описуються диференційним рівнянням, в якому незалежною змінною є час t. Якщо додаткові умови задані у вигляді значень переміщень чи швидкості при t=0, то це також задача Коші.

Задача Коші має єдиний розв‘язок, що задовольняє умові в якщо функція неперервна в деякій області і задовольняє в цій області умові Ліпшица,

де N - постійна Ліпшица, що залежить від а і b (а і b - границі області).

Методи точного інтегрування диференціальних рівнянь придатні лише для порівняно невеликої частини рівнянь, що зустрічаються на практиці.

Тому в задачах моделювання та дослідження складних технічних систем, наприклад, систем автоматичного управління, великого значення набувають методи наближеного розв’язання диференційних рівнянь, що у залежності від форми представлення розв’язку можна розділити на дві групи:

1) аналітичні методи, що дають наближений розв’язок диференційного рівняння у виді аналітичного виразу;

2) чисельні методи, що дають наближений розв’язок у вигляді таблиці.

Похибки. Перед тим, як перейти до розглядання методів чисельного розв'язання диференційних рівнянь, зупинимося на джерелах похибок, пов'язаних з чисельною апроксимацією. Таких джерел три:

1. Похибка округлення зумовлена обмеженнями на представлення чисел в ЕОМ, тому що число значущих цифр, що запам'ятовується і використовується в обчисленнях, обмежене.

2. Похибка відсічення зв'язана з тим, що для апроксимації функції замість

при (9.2)

нескінчених рядів часто використовується лише декілька перших їх членів.

Рисунок 9.2 – Геометричне представлення накопичування похибки в процесі обчислень

Це звичайний для чисельних методів прийом, що являється джерелом похибки, цілком зумовлених використаним методом і не залежать від характеристик ЕОМ.

3. Похибка поширення являється результатом накопичення похибок, що з'явились у попередніх результатах розрахунку. Так як ні один з наближених методів не може дати зовсім точних результатів, то будь-яка виникла в процесі обчислень похибка зберігається і на наступних стадіях розрахунку (рис. 9.2).

Вказані три джерела похибок є причиною помилок двох типів:

Локальна помилка – сума похибок, що вносяться у розрахунковий процес на кожному етапі обчислення.

Глобальна помилка – різниця між розрахованим та точним значеннями величини на кожному етапі реалізації чисельного алгоритму, що визначає сумарну похибку, що накопичується з моменту початку розрахунку.