Метод Гауса

Для отримання підвищеної точності для чисельного інтегрування користуються формулою Гауса

, (8.13)

в якої не фіксуються не тільки вузли інтерполяції x₁, x₂,…,x_n, а й квадратурні коефіцієнти С₁,…,С_n. При цьому Z_n невідомих величин x₁,…,x_n; С₁,…,С_n визначається із умови, що формула є точною у випадку будь-якого багаточлена 2n-1.

Таким чином, для будь-якого багаточлена (2n-1)-й степеню

(8.14)

повинна виконуватися рівність:

. (8.15)

Багаточлен f(x) степеню 2n-1 можна показати у вигляді

f(x)=F(x)Q(x)+R(x) , (8.16)

де F(x)-шуканий багаточлен n-ї степені, а Q(x) та R(X)- відповідно частинне ділення f(x) на F(x) та залишок від цього ділення, степінь багаточленів Q(x) та R(x) не перевищують (2n-1).

Вираз для F(x) можна записати так:

(8.17)

тут величини x₁,…,x_n - шукані абсциси формули Гаусса, а А₁,А₂,…,А_n - постійні.

Оскільки шукана функція F(x) у вузлах x₁,…,x_n перетворюється на нуль, то

(8.18)

(8.19)

Але для багаточлена R(x) степеню не вище n-1 також повинна виконуватися рівність:

(8.20)

Bіднімаючи (8.20) від (8.19),отримаємо

Із останнього відношення можна визначити шукану функцію F(x). Оскільки ця рівність справедлива для якого-небудь багаточлена Q(x) степеню n-1

, (8.21)

то при будь-яких коефіцієнтах маємо таку систему рівнянь:

(8.22)

Підставляючи в (8.22) вирази для F(x) із формули (7.2 ) та інтегруючи, отримаємо для визначення коефіцієнтів А₁, … А_n систему n рівнянь

(8.23)

з яких видно, що А₁=А₃=А₅=А₇=…=0 та, отже, шуканий многочлен має вигляд:

(8.24)

Відмітимо, що при парному n корені рівняння F(x)=0 попарно рівні за абсолютним значенням, але протилежні за знаком, а при непарному n коренем є також і х=0.

Визначивши із системи (8.23) коефіцієнти А_і (і=1,2,…,n), складемо рівняння F(x)=0 та знайдемо його корені х₁,…,х_n, тобто шукані абсциси формули Гаусса, а потім обчислимо коефіцієнти С_i (і=1,2,…,n) за формулою

(8.25)

Приклад 1. Побудувати квадратурну формулу Гаусса для випадку n=2 на відрізку інтегрування [-1, 1].

Розв‘язок. Загальний вигляд квадратурної формули Гаусса при n=2 та заданих межах інтегрування:

,

де підлягають визначенню квадратурні коефіцієнти с₁ та с₂, а також абсцис х₁ та х₂.

Для визначення абсцис складемо многочлен , коефіцієнти А₁ та А₂ якого знайдемо із системи вигляду (8.22)

підстановкою багаточлена F(x) у систему. Маємо

; ,

тобто А₁=0, А₂ =-1/3. Тоді , звідки

та

Коефіцієнти с₁ та с₂ обчислимо за формулою (8.25)

;

Отже,

Для обчислення інтеграла загального вигляду слід замінити змінні

, (i=1,2,….,n) (8.26)

Тоді формула Гаусса прийме вигляд

Значення квадратурних коефіцієнтів Гаусса с_і (і=1,2...n) та абсцис х_і (і=1,2...n) наведені в таблиці 8.3.

Таблиця 8.3 – Значення квадратурних коефіцієнтів Гаусса