Метод Чебишева

Метод Ньютона-Котеса

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ ЗНАХОДЖЕННЯ ІНТЕГРАЛУ ЗА ДОПОМОГОЮ АЛГЕБРАЇЧНИХ ФУНКЦІЙ

Лекція № 8

Метод Ньютона-Котеса засновано на інтерполяції однієї із сторін криволінійних трапецій, що отримані поділом відрізку інтегрування [а,b] на N рівних частин, багаточленами більш високих порядків ніж в методі трапецій (де використовується лінійна інтерполяція) і в методі Сімпсона (де використовується квадратична інтерполяція).

Основна формула методу Ньютона-Котеса має вигляд:

, (8.1)

де - значенняпідінтегральної функції f(x) в вузлах інтерполяції, Hi – коефіцієнти Ньютона-Котеса, які не залежать від вигляду підінтегральної функції f(x), а залежать тільки від N (кількості вузлів інтерполяції), тому значення їх для різної кількості вузлів відомі та представлені в таблиці 8.1. Можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона-Котеса.

Таблиця 8.1 - Коефіцієнти Ньютона-Котеса

На відміну від методу Ньютона-Котеса, в якому коефіцієнти H_i (i=1,N) знаходять у фіксованих вузлах інтерполяції, П.Л. Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу

, (8.2)

в якій квадратурні коефіцієнти С_i (і=1,2,…,N) зафіксовані, а абсциси x_i (і=1,2,…,N) підлягають визначенню. Для простоти обчислень необхідно вибрати С₁=С₂=…=С_n. Розглянемо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють –1 та 1. Тоді попередня формула набере вигляду

, (8.3)

де квадратурні коефіцієнти С_n та абсциси x_i підлягають визначенню.

Коефіцієнти С_i та вузли інтерполяції x_i визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) - багатогочлен вигляду

(8.4)

Підставимо багаточлен (8.4) у ліву частину (8.3) та проінтегруємо:

(8.5)

У праву частину рівності (8.3) підставимо значення многочлена (8.4) у вузлах х₁, х₂, …,х_n:

(8.6)

Тоді формула (8.5) буде мати вигляд

(8.7)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень а_o,а₁,…,а_n і таким чином, порівнюючи коефіцієнти а_i в правій і лівій частинах (8.7) знаходимо, що nC_n=1, звідки

(8.8)

i, крім цього,

(8.9)

Підставляючи знайдене для С_n виразу в співвідношення (8.5) отримаємо формулу Чебишева:

(8.10)

де точки x₁,…,x_n визначаються із системи рівнянь (8.9).

Значення x₁,…,x_n для різних n відомі та представлені в таблиці 8.2.

Таблиця 8.2 - Значення абсцис для різної кількості точок

Коли межі даного інтеграла відрізняються від –1 та 1 , формула Чебишева матиме вигляд

, (8.11)

де

. (8.12)

а x_i мають вказані в таблиці значення.