Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції
Якщо функція, що досліджується, задана значеннями в рівновіддалених вузлах інтерполяції, тобто , то для побудови її аналітичної залежності зручно використовувати першу інтерполяційну формулу Ньютона.
Для виводу інтерполяційних формул для рівновіддалених вузлів інтерполяції вводиться поняття кінцевої різниці.
Поставимо наступну задачу: для функції , яка задана таблицею значень причому x змінюється з однаковим кроком h, тобто , побудувати кінцеві різниці.
Кінцевою різницею першого порядку називається різність між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:
В загальному вигляді кінцеву різницю першого порядку можна записати як .
Кінцева різниця другого порядку складається з кінцевих різниць першого порядку:
Кінцева різниця n-го порядку складається з кінцевих різниць -го порядку:
,
або в технічної літературі використовують наступну формулу кінцевої різниці -го порядку:
Нехай необхідно побудувати інтерполяційний багаточлен степеню такий, що
Будемо шукати багаточлен виду (5.9)
В цьому виразі невідомі коефіцієнти . Для того щоб знайти , покладемо . Тоді при підстановці в вираз (5.9) всі складові, окрім першої, обернуться в нуль, тобто а значення функції в точці відомі з умови задачі: Отже
Щоб знайти коефіцієнт складемо першу кінцеву різницю для багаточлена в точці x:
Зробивши всі підстановки, отримаємо:
Обчислимо першу кінцеву різницю багаточлена в точці Тут також всі члени, окрім першого, обернуться в нуль, і, отже, але
звідки і
Щоб визначити коефіцієнт складаємо кінцеву різницю другого порядку:
Після перетворень отримаємо
Вважаємо ; тоді всі члени, окрім першого, знов обернуться в нуль і Звідси
Обчислюючи кінцеві різниці більш високих порядків і вважаючи , прийдемо до загальної формули для отримання коефіцієнтів:
(5.10)
де будемо вважати, що та Підставивши знайденні значення коефіцієнтів в вираз (5.9), отримаємо першу інтерполяційну формулу Ньютона.
(5.11)
На практиці часто використовують формулу Ньютона в іншому вигляді. Для цього введемо заміну де крок інтерполяції, а q - число кроків. Тоді перша інтерполяційна формула Ньютона прийме наступний вигляд:
(5.12)
Формулу (5.12) зручно використати для інтерполювання на початку відрізку інтерполяції , де q мале за абсолютною величиною.
Якщо за число вузлів інтерполяції прийняти , то отримаємо формулу лінійного інтерполювання
При отримаємо формулу параболічного, або квадратичного інтерполювання
На практиці часто буває необхідно зменшити крок інтерполяції якої-небудь таблиці з рівновіддаленими аргументами. В таблиці можна вважати, що кількість вузлів інтерполяції необмежена. Тоді вибирають так, щоб кінцева різниця була постійна з заданим ступенем точності. За початкове значення можна вибирати будь-яке значення аргументу.
Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона представлена на рисунку 5.4.
Рисунок 5.4 – Схема алгоритму інтерполяції табличної функції багаточленом Ньютона
Приклад. Припустимо, що результати експерименту представлені в таблиці 5.2 (перших три стовпця)
З таблиці видно, що
,
Таблиця 5.2 – Результати експерименту
N | x | y | |||||
-1 | |||||||
Побудуємо багаточлен Ньютона:
Q=-1+3x+6(x(x-1))+1(x(x-1)(x-2))+0=-1+3x+6x2-6x+x3-2x2-x2+2x=x3+3x2-x-1
Висновки:
1. За допомогою аналітичної залежності можливо отримати значення функції для , які знаходяться між точками дослідження. отримуємо це називається задачею інтерполяції.
2. За допомогою аналітичної залежності можна отримати значення функції за межами інтервалу дослідження. Наприклад, при . Дана задача називається екстраполяцією або прогнозуванням.