Способи завдання функцій

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Лекція № 5

Інженери в практичній діяльності постійно зіштовхуються з необхідністю виявлення видів зв'язку в процесах та явищах і необхідністю їх математичного опису. Якщо деяка величина y, що характеризує процес, залежить від сукупності незв’язаних між собою величин таким чином, що кожному набору відповідає значення величини , така однозначна відповідність величини сукупності незалежних змінних називається функціональною залежністю, а сама змінна величина y – функцією змінних величин , що формально записується у вигляді . Так, вираз є функцією трьох змінних.

Наприклад, площа кола є функцією незалежної змінної – радіуса кола R, тобто , конкретний вигляд цієї функції . Об‘єм фігури є вже функцією трьох вимірів: , і в залежності від вигляду фігури цей функціональний зв'язок відповідно конкретизується.

З курсу математичного аналізу відомі три способи завдання функціональних залежностей:

 аналітичний;

 графічний;

 табличний.

Так, наприклад, в результаті математичної обробки можна отримати наступну аналітичну залежність грошових кредитів в сільському господарстві під товарно-матеріальні цінності і сезонні витрати від витрат на велику рогату худобу: , де y - кредити під товарно-матеріальні цінності; - витрати на велику рогату худобу. Інший приклад аналітичної залежності: зв'язок шляху з часом в рівноприскореному русі виражається як .

Позитивною властивістю аналітичного способу завдання є можливість одержувати значення для будь-якого фіксованого аргументу з будь-якою точністю. До недоліків цього засобу слід віднести те, що потрібно повторювати всю послідовність обчислень; крім того, аналітичний засіб не володіє наочністю. Вказані недоліки аналітичного засобу усуваються у випадку графічного завдання функції .

Табличний спосіб завдання функцій розповсюджений у техніці, фізиці, економіці, природознавстві та найчастіше всього використовується для запису результатів експерименту.

Нехай, наприклад, в результаті досліду отримана залежність омічного опору R мідного стержня від температури у вигляді таблиці 5.1:

Таблиця 5.1 – Результати експериментальних досліджень

В цьому експерименті значення омічного опору мідного стержня змінюється при коливанні температури і є залежною змінною.

Перевагою табличного способу завдання експериментальної функції є те, що для кожного значення незалежної змінної, поміщеної в таблицю, можна відразу ж, без усяких вимірів і обчислень, знайти відповідне значення функції. Недолік табличного способу полягає в тому, що не можна задати всю функцію скрізь, тобто завжди знайдуться такі значення незалежної змінної, яких немає в таблиці. Тому, для аналізу результатів інженерних експериментів дуже зручно використовувати як табличний так і аналітичний способи представлення залежностей, що досліджуються.

Так, якщо в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок: , то дуже часто виникає задача пошуку аналітичної залежності, яка б зв‘язувала експериментальні дані у вигляді аналітичної функції . Для розв’язування цієї задачі за допомогою чисельних методів на ЕОМ використовуються два підходи:

1. Інтерполяція – підхід, за допомогою якого отримують аналітичні залежності табличних функцій за умови, що аналітична функція повинна проходити через всі задані експериментальні точки.

2. Апроксимація – підхід, за допомогою якого знаходиться аналітична функція , що “найкращим чином” наближається до заданої табличної функції. Звичайно “найкращим чином” – це критерій, в якості якого використовується критерій середньо квадратичного відхилення (СКВ), заснований на тому, що сума квадратів відхилень аналітичної функції від експериментальної (при і=0, 1, …, k) повинна бути мінімальною:

На рисунку 5.1 представлена класифікація відомих методів наближення табличних функцій, призначених для пошуку аналітичної залежності , яка б зв‘язувала експериментальні дані , отримані в результаті інженерного або наукового експерименту.

Рисунок 5.1 – Класифікація чисельних методів наближення табличних функцій