Метод Гауса-Жордана

Особливістю метода Гауса-Жордана є перетворення системи (2.1) (прямий хід) до еквівалентної з одиничною матрицею коефіцієнтів виду:

, (2.41)

тобто системи, яка містить тільки одиничну діагональ.

Для отримання такої системи в прямий хід алгоритму базового методу Гауса (з послідовним виключенням невідомих) додатково вводяться такі дії:

1. Організація циклу по k по всім рівнянням від 1 до N -1 (k = 1, 2, …, N-1).

2. Процедура вибору головного елементу в кожному k-му стовпці при ;

3. Процедура нормування k-го рівняння системи, тобто в k-му рівнянні кожен коефіцієнт a_{k j} розділити на , включаючи , так, щоб коефіцієнт =1.

4. Перетворення всіх рівнянь системи, починаючи з 1-го до N у відповідності з базовим алгоритмом Гауса з метою отримати еквівалентну систему з одиничною діагоналлю. В даному випадку для розрахунку коефіцієнтів a_{i j} використовуються ті самі формули, що і в базовому алгоритмі Гауса:

; ; ,

але використовуються вони для всіх рівнянь з 1-го до N крім k-го, в якому остається коефіцієнт рівний одиниці.

5. Кінець циклу по k.

Обернений хід методу Гауса-Жордана дуже простий і використовує наступні формули:

x k=b k , при k=1,2,…,n.

Схема алгоритму методу Гауса-Жордана представлена на рисунку 2.6.

Рисунок 2.6. – Схема алгоритму методу Гауса-Жордана