Модель лінійної регресії та її економетричний аналіз

Моделі лінійної регресії знайшли найбільш широке використання в економічних дослідженнях, хоча це і є спрощений засіб в моделюванні реальних економічних процесів. Але ґрунтовне вивчення і застосування методики побудови лінійних моделей, надає необхідну теоретичну базу для створення більш складних, нелінійних моделей, що будуть значно більше відповідати реальним економічним процесам. Крім цього, з практики побудови і досліджені парної лінійної моделі створюються необхідні передумови для економетричного аналізу.

Якщо в рівняння включено лише одну пояснюючу змінну, то одержуємо теоретичну модель, яка дістала назву парної лінійної регресії:

, (6.2)

де невідомі параметри регресії;

незалежна випадкова змінна або пояснювальна змінна (факторна ознака);

випадкова величина, яка має місце при неправильному виборі функції, що описує залежність між результативним показником та факторами.

Парна лінійна регресія – лінійна залежність між досліджуваним показником У та факторами Х, які знаходяться у причинно-наслідкових зв’язках, причому зміна фактора викликає зміну показника.

Регресія характеризує тенденцію зміни показника, зумовлену впливом зміни фактора.

Для визначення параметрів лінійного рівняння потрібно розв’язати систему рівнянь:

; (6.3)

Однак, коефіцієнти a та b можна визначити, використовуючи наступні формули:

Параметр регресії b знаходиться розв’язком системи двох приведених вище рівнянь за формулою:

, (6.4)

де та – середні значення перемінних (відповідно x та у):

; ; (6.5)

п – число даних спостережень;

– сума факторних ознак;

– сума статистичних показників за n минулих періодів.

Виходячи із знайденого значення b, можна розрахувати параметр а:

(6.6)

Для аналізу якості існуючої лінійної залежності використовують коефіцієнт парної кореляції, який розраховується за формулою:

. (6.7)

Коефіцієнт кореляції – це деяке число в межах від +1 до –1.

Коефіцієнт детермінації – квадрат від коефіцієнта кореляції. Його значення буде завжди додатнім числом в інтервалі 0<D<1. Коефіцієнт детермінації є процентною зміною залежної перемінної у, яка визначається лінійним рівнянням. Наприклад, якщо значення D=0,7, то вважається, що 70% загальних змін визначається цим рівнянням.

Абсолютне відхилення – різниця між фактичним і розрахунковим значеннями :

(6.8)

Дисперсія між фактичними і розрахунковими значеннями функції:

(6.9)

Значення двох останніх показників повинні бути близькими до 0.

Приклад 1: Побудувати лінійну економетричну модель впливу вартості основних виробничих фондів на обсяг отриманого прибутку підприємства. Оцінити отриману модель.

Таблиця 6.1 – Вихідні дані для побудови лінійної економетричної моделі

Розв’язання: Коефіцієнт b визначимо за формулою (6.4). Спершу знайдемо: , ; ; ; п=10, тоді:

.

Коефіцієнт а за формулою (6.6): .

Тоді, рівняння прямої буде: .

Отже, це означає, що щорічний приріст прибутку становитиме 1,21 тис. грн.

Для аналізу якості існуючої лінійної залежності розрахуємо, знаючи, що :

- коефіцієнт парної кореляції (формула 6.7):

.

- коефіцієнт детермінації: .

Отже 98% змін визначається цим рівнянням.

- абсолютне відхилення розраховане за формулою (6.8) в таблиці 6.2:

Таблиця 6.2 – Результати розрахунку абсолютного відхилення

Прибуток (у), тис. грн.	ОВФ (х), тис. грн.		Абсолютне відхилення
1,2	2,5	-1,89+1,21*2,5=1,13	1,2-1,13=0,07
1,5	2,8	-1,89+1,21*2,8=1,49	1,5-1,49=0,01
1,9	3,0	-1,89+1,21*3=1,74	1,9-1,74=0,16
2,2	3,6	-1,89+1,21*3,6=2,46	2,2-2,46=-0,26
2,8	3,9	-1,89+1,21*3,9=2,83	2,8-2,83=-0,03
3,1	4,2	-1,89+1,21*4,2=3,19	3,1-3,19=-0,09
3,4	4,5	-1,89+1,21*4,5=3,55	3,4-3,55=-0,15
4,5	5,0	-1,89+1,21*5=4,16	4,5-4,16=0,34
4,8	5,6	-1,89+1,21*5,6=4,89	4,8-4,89=-0,09
5,4	6,0	-1,89+1,21*6=5,37	5,4-5,37=0,03

- дисперсія за формулою (6.9):

.

Отже, отримана лінійна економетрична модель для прибутку підприємства є надійною та точною.