ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА

( метод кінетостатики)

Зміст

12.1. Принцип Даламбера для матеріальної точки і механічної системи

12.2. Приведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого вигляду.

12.3. Контрольні запитання.

12.4. Порядок розв’язування задач на застосування принципу Даламбера.

12.5. Приклади розв’язування задач.

12.1. Принцип Даламбера для матеріальної точки і механічної системи

Принцип Даламбера для матеріальної точки

Розглянемо матеріальну точку М, яка рухається і на яку діють задана сила F і реакція в’язі N (рис.12.1). Рівнодіюча R

сил F і N зобразиться діагоналлю паралелограма і, згідно з ос-

новним законом динаміки, прискорення точки a буде співпадати

за напрямком з R , отже:

Додамо до сил F і N ще одну силу, яка має такий самий модуль, що і R ,

тобто ma , але спрямована протилежно a :

а за модулем:

Сила, яка за модулем дорівнює добутку маси точки на модуль її прискорення і спрямована протилежно прискоренню, називається силою інерції.

Сукупність сил R і Ф дорівнює нулю, тому що вони рівні за модулем і протилежні за напрямком:

Отже, при русі матеріальної точки у кожний даний момент часу сукупність заданої сили F , реакції в’язі N і сили інерції Ф задовольняє умовам рівноваги системи збіжних сил.

У цьому складається принцип Даламбера для матеріальної точки, значення якого полягає у тому, що при його застосуванні до задач динаміки рівняння руху складаються у формі добре відомих рівнянь рівноваги. При проектуванні векторної рівності (12.1) на декартові осі координат, одержуємо вирази для проекцій сили інерції на ці осі:

Проектуючи ту ж саму векторну рівність на природні осі, одержимо проекції сили інерції на дотичну, нормаль і бінормаль до траєкторії:

Складові сили інерції Ф_τ і Ф_n , які спрямовані по дотичній і головній нормалі, називаються, відповідно, дотичною (або тангенціальною) і нормальною (або відцентровою) силами інерції.

Принцип Даламбера для механічної системи

Розглянемо невільну механічну систему, яка складається з n матеріальних точок. До кожної з точок M_k цієї системи застосуємо принцип Даламбера:

Рівняння (12.5) показує, що у будь-який момент часу геометрична сума рівнодіючих заданих сил, реакцій в’язей і сили інерції для кожної точки матеріальної невільної механічної системи дорівнює нулю.

Це положення називається принципом Даламбера для невільної механічної системи .

Складемо всі n рівнянь (12.5):

Отже, у будь-який момент часу для усякої невільної механічної системи геометрична сума головних векторів заданих сил, реакцій в’язей і сил інерції матеріальних точок системи дорівнює нулю.

Проведемо із довільного нерухомого центра О у кожну точку системи M_k радіуси-вектори kr . Помножимо векторно радус-вектор kr кожної точки M_k на суму векторів лівої частини рівності (12.5):

Тоді:

Із рівняння (12.10) випливає: у кожний момент часу для будь-якої невільної механічної системи геометрична сума головних моментів заданих сил, реакцій в’язей і сил інерції матеріальних точок системи відносно довільного нерухомого центра дорівнює нулю.

Якщо розглянути векторні рівняння (12.6) і (12.9) як умови рівноваги довільної просторової системи сил, що прикладені до твердого тіла, то вони еквівалентні шістьом алгебраїчним рівнянням статики, а саме:

1) трьом умовам рівноваги в проекціях сил на осі Охуz:

2) трьом умовам рівноваги моментів сил відносно осей Ох, Оу і Оz:

12.2. Приведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого вигляду

Як відомо, систему сил можна привести до сили, яка дорівнює головному вектору і до пари сил з моментом, який дорівнює головному моменту усіх сил системи.

Приведення сил інерції точок твердого тіла дає наступні результати.

1. При поступальному русі тіла сили інерції приводяться до рівнодіючої, яка прикладена у центрі мас С тіла. Рівнодіюча Ф∗дорівнює за модулем добутку маси тіла на прискорення центра мас і спрямована протилежно цьому прискоренню:

2. При обертанні тіла навколо осі, яка проходить через центр мас тіла, сили інерції приводяться до однієї пари, яка лежить у площині, перпендикулярній до осі обертання тіла і має момент (рис.12.2):

Напрямок пари сил є протилежним напрямку кутового прискорення ε.

3. При плоскому русі сили інерції приводяться до результуючої сили, яка дорівнює Ф∗ і прикладена у центрі мас С тіла, і до пари сил, яка лежить у площині фігури і має момент

12.3. Контрольні запитання

Як визначається за величиною і напрямком сила інерції матеріальної точки?

У чому полягає суть принципу Даламбера для матеріальної точки?

У чому полягає суть принципу Даламбера для механічної системи?

До чого приводяться сили інерції точок твердого тіла при його поступальному русі?

До чого приводяться сили інерції точок твердого тіла при його обертанні навколо нерухомої осі, яка проходить через центр мас тіла?

До чого приводяться сили інерції точок твердого тіла при плоскому русі?

12.4. Порядок розв’язування задач на застосування принципу Даламбера

Розв’язування задач за допомогою принципу Даламбера (методу кінетостатики) рекомендується виконувати у такій послідовності:

Зобразити на рисунку активні сили , які прикладені до кожної матеріальної точки;

Зобразити реакції в’язей;

Додати до активних сил і реакцій в’язей сили інерції матеріальних точок системи;

Вибрати систему координат;

Скласти рівняння рівноваги усіх сил;

Розв’язавши складену систему рівнянь, визначити величини, які шукаються.

12.5. Приклади розв’язування задач

Задача №1

Автомобіль вагою Q=10кН рухається по опуклому мосту зі

швидкістю V =10 / м с , радіус кривини моста ρ =50м .

Визначити тиск автомобіля на міст у момент, коли він проїж-

джає його середину (рис.12.4).

Розв’язок. На автомобіль діють активна сила тяжіння Q і реакція

моста R , яка дорівнює за величиною тиску N автомобіля на міст.

Ці сили не зрівноважують одна одну, тому що автомобіль рухається по криволінійній траєкторії з нормальним прискоренням яке спрямоване до центра кривизни. Якщо до сил Q і R додати силу інерції Ф , яка

спрямована у бік, протилежний напрямку нормального прискорення a_n і яка дорівнює за величиною

то система сил Q , R і Ф буде знаходитися у рівновазі, отже:

Оскільки всі сили діють вздовж однієї прямої, яка співпадає з нормаллю n, то спроектуємо їх на нормаль n :

Відкіля

Тиск N автомобіля на міст дорівнює за величиною R :

R =N = 7,96 кН.

Відповідь: N = 7,96 кН.

Задача № 2

Вантаж М вагою 1 Н, який підвішений на нитці довжиною 30 см у нерухомій точці О, уявляє собою конічний маятник, тобто описує коло у горизонтальній площині, при цьому нитка складає з вертикаллю кут α = 60⁰ (рис.12.5).

Визначити швидкість вантажу V і натяг нитки Т.

Розв’язок. На вантаж М діють сила тяжіння G і реакція нитки T . Ці сили не зрівноважуються, тому що вантаж рухається, і рух цей відбувається по криволінійній траєкторії кола з радіусом АМ і з нормальним прискоренням a_n , яке дорівнює Підрахуємо силу інерції вантажу. Сила інерції Ф спрямована по радіусу АМ у бік,протилежний a_n , і дорівнює за модулем