СКЛАДНИЙ РУХ ТОЧКИ

Зміст

3.1. Відносний, переносний і абсолютний рух точки.

3.2. Відносні, переносні та абсолютні швидкості і прискорення.

3.3. Додавання швидкостей та прискорень при складному русі точки.

3.4. Прискорення Коріоліса.

3.5. Контрольні запитання.

3.6. Приклади розв’язування задач.

 

3.1. Відносний, переносний і абсолютний рух точки

При дослідженні руху точки обирають деяку систему відліку (теми 1 і 2), відносно якої розглядають рух точки. В деяких випадках доводиться розглядати рух точки відносно двох різних систем відліку. Наприклад, рух пасажира в потязі можна розглядати як по відношенню до потяга, так і по відношенню до Землі. При цьому рух однієї і тієї ж точки відносно двох різних систем відліку буде різним. Наприклад, точка ободу колеса залізничного вагона, що рухається, відносно Землі пише циклоїду, а відносно вагона – коло. При розгляді руху точки по відношенню до двох систем відліку та система, яка в даній задачі умовно прийнята за нерухому, називається основною системою відліку (нерухомою), а система, яка рухається відносно основної, називається рухомою системою відліку. Рух точки відносно основної системи відліку називається абсолютним рухом, а її рух відносно рухомої системи відліку – відносним рухом.

 

Нехай є дві системи координат Oxyz і Ox′ y′ z′тадеякарухоматочкаМ (рис.3.1). Оберемо систему координат Oxyz за основну. Тоді рух системи Ox′ y′ z ′ відносно системи Oxyz буде переносним. Рух точки M відносно системи ′Ox′ y′ z ′ буде відносним, а рух точки M відносно системи Oxyz буде абсолютним. Треба зауважити, що переносним рухом є рух не самої точки M, а того тіла, з яким пов’язана рухома система координат Ox′ y′ z ′, тоді як відносний і абсолютний рух є рухом самої точки M, який розглядається відповідно відносно рухомої і основної систем відліку. В переносному русі рухома система координат може мати будь-який вид руху. Основна задача цього розділу полягає в тому, щоб за відомими відносним і переносним рухами визначити абсолютний рух точки (рух точки M відносно системи відліку Oxyz ). Вибір основної та рухомої систем відліку, а відповідно, і поділ руху точки на абсолютний та відносний залежить від постановки конкретної задачі. У більшості випадків за основну систему відліку приймають систему, яку пов’язано з Землею.

3.2.Відносні. переносні, абсолютні швидкості та прискорення

Відносною швидкістюVвід точки називається її швидкість у відносному русі, тобто по відношенню до рухомої системи відліку.

Абсолютною швидкістюVабс точки називається її швидкість в абсолютному русі, тобто по відношенню до основної системи відліку.

Переносною швидкістюVпер називається швидкість відносно основної системи відліку тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається.

Аналогічно введемо поняття відносного, абсолютного та переносного прискорення точки.

Відносним прискореннямaвід точки називається її прискорення у відносному русі, тобто по відношенню до рухомої системи відліку.

Абсолютним прискореннямaабс точки називається її прискорення в абсолютному русі, тобто по відношенню до основної системи відліку.

Переносним прискореннямaпер називається прискорення відносно основної системи відліку тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається.

Звернемо увагу на те, що переносний рух – це рух усієї рухомої системи відліку, тобто деякого тіла, з яким пов'язана рухома система координат, а переносна швидкість і переносне прискорення – це швидкість і прискорення конкретної точки цього тіла.

3.3. Додавання швидкостей та прискорень при складному русі точки

Залежність між абсолютною, переносною та відносною швидкостями точки визначається теоремою додавання швидкостей, згідно якій абсолютна швидкість точки дорівнює векторній сумі переносної та відносної швидкостей:

Vабс=Vвід +Vпер(3.1)

де Vабс – абсолютна швидкість точки;

Vвід – відносна швидкість точки;

Vпер – переносна швидкість.

 

Для визначення відносної швидкості точки достатньо подумки зупинити переносний рух і знайти за правилами кінематики швидкість точки відносно системи відліку, яка була рухомою. Для визначення переносної швидкості – достатньо подумки зупинити відносний рух і знайти переносну швидкість як швидкість тієї точки рухомої системи відліку, з якою в даний момент часу збігається точка, що рухається.

Залежність між абсолютним, відносним і переносним прискоренням точки при поступальному русі рухомої системи відліку виражається векторним рівнянням:

 

Якщо переносним рухом є обертальний, або складний, то теорема про додавання прискорень набуває вигляду:

 

де aК – прискорення Коріоліса (поворотне прискорення точки).

3.5. Контрольні запитання

1. Що називається відносним і абсолютним рухом точки?

2. Що називається переносним рухом?

3. Які швидкості точки називаються відносною і абсолютною?

4. Як визначити абсолютну швидкість точки при складному русі?

5. Як визначити абсолютне прискорення точки при складному русі?

6. Яка причина виникнення коріолісового прискорення?

3.6. Прикладирозв’язуваннязадач

 

Задача №1

 

 


Клин АВС (рис.3.7) з кутом нахилу робочої поверхні α,який рухається поступально по горизонтальній поверхні з швидкістю u , піднімає стержень DE , який рухається в вертикальному напрямі. Знайти абсолютну швидкість стержня DE .

Розв’язок. Враховуючи, що стержень DE у вертикальному напрямі буде рухатися прямолінійно поступально, то достатньо визначити швидкість будь якої його точки. Розглянемо рух точки D стержня. Оскільки точка D стержня повинна увесь час торкатися клина ABC, то розглянемо її рух як складний - відносним буде рух точки D по відношенню до клина, а переносним - рух точки D разом з клином. По відношенню до клина точка D стержня може рухатися тільки вздовж робочої поверхні АВ. Таким чином, відносна швидкість V від буде напрямлена вздовж АВ.Клин ABC рухається поступально горизонтальною поверхнею, тобто швидкості всіх його точок однакові. Таким чином, переносна швидкість Vпер точки D стержня, яка збігається з точкою D клина, буде дорівнювати u . Абсолютну швидкість точки D стержня визначимо з векторного рівняння: Vабс =Vвід +Vпер(1)

Для розв'язання векторного рівняння (1) побудуємо паралелограм на векторах Vпер і Vвід (рис.3.7). При побудові треба врахувати, що Vабс , як діагональ паралелограма, повинна бути направлена вертикально. Оскільки кут між векторами Vпер і Vабс V прямий, то отримаємо:

 


ПЛОСКИЙ РУХ ТІЛА

 

Визначення швидкостей точок тіла

Зміст

4.1. Рівняння плоского руху.

4.2. Швидкості точок плоскої фігури. Миттєвий центр швидкостей.

4.3. Порядок розв’язування задач.

4.4. Контрольні запитання.

4.5. Приклади розв’язування задач.

 

4.1. Рівняння плоского руху

Плоскимназивається такий рух тіла, при якому траєкторії усіх його точок лежать в площинах, що паралельні до даної нерухомої площини. При такому русі усі точки твердого тіла, що лежать на перпендикулярі до цієї площини, мають однакові траєкторії, швидкості і прискорення.

Плоский рух фігури можна розглядати як складний (тобто, абсолютний) рух, який включає поступальний рух разом з довільно обраною точкою А , що називається полюсом (переносний рух), і на обертальний рух фігури навколо цієї точки (відносний рух).

 

На рис.4.1 з тілом Q пов’язана рухома система координат . При русі тіла початок координат y і кут повороту рухомої системи координат відносно нерухомої системи Oxy з часом змінюються. Таким чином, щоб однозначно задати положення тіла при плоскому русі потрібно задати закон руху початку рухомої системи координат (полюса А) і кут повороту рухомої системи відносно нерухомої системи координат, тобто:

Рівняння (4.1) називаються рівняннями плоского руху твердого тіла. При цьому, поступальначастина плоского руху описується двома рівняннями:


а відносна обертальна навколо полюса – третім рівнянням:

Координати будь якої точки М плоскої фігури Q (рис.4.1), якщо за полюс обрана точка А і заданий кут α, визначаються за рівняннями:

 

4.2. Швидкості точок фігури. Миттєвий центр швидкостей

Оскільки плоский рух тіла складається з поступального разом з полюсом і обертального навколо нього, то швидкість будь- якої точки тіла М (рис.4.2) геометрично складається з абсолютної швидкості V A точки А, яку прийнято за полюс, і відносної швидкості V MA у відносному обертальному русі точки М разом з тілом навколо полюса А:

 

 


Вектор відносної швидкості VMA точки М у відносному обертальному русі разом з тілом навколо полюса А направлений перпендикулярно до АМ у бік кутової швидкості. Модуль і напрям абсолютної швидкості V M знаходиться побудовою відповідного паралелограма на векторах (рис.4.2). Такий шлях розв’язування векторного рівняння, коли за записаним рівнянням будують векторну фігуру, називається графоаналітичним.

Відносна швидкість VMAV у відносному обертальному русі точки М разом з тілом навколо полюса А за модулем дорівнює:

де ω - кутова швидкість обертання тіла навколо полюса. Знайти швидкість будь-якої точки тіла можна також на основі теореми, яка свідчить:

Проекції швидкостей двох точок фігури на пряму, що з’єднує ці точки, рівні між собою.

Згідно з цією теоремою (рис.4.3) :

 

 


При плоскому русі тіла в кожен момент часу існує точка тіла, швидкість якої дорівнює нулю. Ця точка називається миттєвим центром швидкостей і, як правило, позначається літерою Р . Якщо миттєвий центр швидкостей відомий, то легко можна знайти миттєве розподілення швидкостей усіх точок тіла (рис.4.4).

 

 

Оберемо за полюс поступального руху миттєвий центр швидкостей Р. Тоді для точок А і В тіла можна записати векторні рівняння (4.3):

 

За модулем швидкості обертання точок А і В навколо полюса Р дорівнюють:

.

 

Таким чином, миттєвий розподіл швидкостей точок тіла при його плоскому русі, такий же, який був би при його обертальному русі навколо миттєвого центра швидкостей.

Визначення положення миттєвого центра швидкостей

Існує декілька способів знаходження положення миттєвого центра швидкостей.

Випадок 1. Відома швидкість VA однієї точки А тіла і кутова швидкість його обертання

ω (рис.4.5). Миттєвий центр швидкостей Р лежить на перпендикулярі до швидкості VA точки А, на відстані:

 

Для знаходження напряму перпендикуляру треба повернути вектор VA відносно точки А на кут 900 в бік кутової швидкості.

Випадок 2. Відомі напрями швидкостей VA і VВ двох точок А і В тіла (рис.4.6).

Миттєвий центр швидкостей повинен лежати як на перпендикулярі до вектора VA, так і на перпендикулярі до вектора VВ , тобто миттєвий центр швидкостей Р лежить в точці перетину цих перпендикулярів.

Випадок 3. Швидкості двох точок А і В тіла паралельні між собою, а перпендикуляри до них не співпадають (рис.4.7). Говорять, що в цьому випадку миттєвий центр швидкостей лежить на нескінченності.

Кутова швидкість обертання дорівнює нулю, а швидкості усіх точок тіла

геометрично рівні, тобто в даний момент часу тіло виконує поступальний рух.

Випадок 4. Швидкості двох точок А і В паралельні, направлені в один бік

і не рівні за модулем. Крім того, VA і VB перпендикулярні до відрізка АВ

(рис.4.8). Миттєвий центр швидкостей знаходиться на продовженні відрізка

АВ тієї точки, швидкість якої менша. Відстань від точки до миттєвого центра

швидкостей можна знайти з пропорції (4.6):

Розв’язавши це рівняння відносно РВ, отримаємо:

 

Таким чином, для визначення положення миттєвого центра

швидкостей треба знати не тільки напрями швидкостей, а і їх величину.

Випадок 5. Швидкості двох точок А і В тіла паралельні одна одній, перпендикулярні до відрізка АВ, але направлені в різні боки (рис.4.9). Миттєвий центр швидкостей лежить на

відрізку АВ і ділить його на частини пропорційні швидкостям. Оскільки

BP= AB - AP, то за формулою (4.6) можна записати:

 

 

Розв’язавши рівняння відносно АP, отримаємо:

 

Таким чином, для знаходження положення миттєвого центра швидкостей треба знати величини і напрями швидкостей обох точок.

Випадок 6. Тіло котиться без проковзування по нерухомій поверхні (рис.4.10).

В цьому випадку миттєвий центр швидкостей знаходиться в точці Р дотику тіла до поверхні. Дійсно, якщо відсутнє ковзання тіла відносно поверхні, то швидкості точок дотику тіла і поверхні повинні бути однаковими. Але швидкості точки P′, що належить нерухомій поверхні, дорівнює нулю. Тоді і швидкість точки Р, якою в даний момент часу рухоме тіло дотикається до нерухомої поверхні, теж дорівнює нулю.

4.3. Порядок розв’язування задач

а) розв’язування графоаналітичним методом:

• обрати за полюс ту точку тіла, швидкість якої відома за величиною і напрямом або легко визначається з умов задачі;

• знайти точку тіла, напрям швидкості якої відомий;

• користуючись формулами плоского руху знайти швидкість цієї точки;

• визначити кутову швидкість тіла в даний момент часу;

• за відомою кутовою швидкістю і швидкістю полюса, користуючись формулами плоского руху знайти швидкості інших точок тіла.

б) розв’язання за допомогою миттєвого центра швидкостей:

• визначити положення миттєвого центра швидкостей одним з відомих способів;

• визначити значення миттєвого радіуса тієї точки тіла, швидкість якої відома, та знайти кутову швидкість тіла;

• знайти швидкості інших точок тіла.

4.4. Контрольні запитання

 

1. Який рух тіла називають плоским?

2. Як визначити швидкість будь якої точки тіла при поступальному русі?

3. Яка точка називається миттєвим центром швидкостей?

4. Яким способом можна знайти положення миттєвого центра швидкостей ?

 

4.5. Приклади розв’язування задач

Задача №1

Стержень АВ (рис.4.11) довжиною 2м виконує плоский рух. Вектор швидкості точки А утворює кут 300 з віссю стержня і в даний момент часу дорівнює 5м с . Вектор швидкості точки В у цей же момент часу утворює кут 600 з віссю стержня. Визначити величину швидкості точки В, положення миттєвого центра швидкостей, кутову швидкість стержня та швидкість точки D , яка лежить на середині стержня.

 

 

Розв’язок задачі графоаналітичним способом.

1. За полюс оберемо точку А (рис.4.11), оскільки відомі напрям і величина швидкості цієї точки.

2. Використовуючи формулу розподілу швидкостей при плоскому русі, запишемо векторне рівняння для визначення швидкості точки В :

де VA - швидкість полюса точки А;

VBA - відносна швидкість точки В у її відносному обертальному русі разом з тілом навколо полюса А.

Дане векторне рівняння можна розв’язати побудовою векторного трикутника швидкостей (рис.4.12). Для цього з довіль

ної точки площини О треба побудувати праву і ліву частину векторного рівняння (1). При побудові правої частини рівняння (1) з точки О в довільному масштабі відкладемо вектор швидкості VA , який є відомим і за величиною і за напрямом.

До вектора VA треба додати вектор відносної швидкості VBA , напрям якого є ві-

домим, оскільки швидкість точки В у її відносному обертальному русі навколо

полюса А перпендикулярна до радіуса обертання, в даному випадку радіус

обертання – відрізок АВ. Величина вектора VBA невідома і тому через точку

"a " проводиться тільки його напрям (пряма ab рис.4.12). Тепер з точки О

побудуємо ліву частину рівняння (1). Напрям швидкості точки В є відомим

(за умовою задачі), але невідома її величина, і тому, з точки О проводимо лінію

паралельну до VВ .

Точка " b" перетину прямих, паралельних до VBA та VВ , і буде рішенням даного векторного рівняння.

В результаті побудови отримали замкнутий трикутник швидкостей, сторони якого в обраному масштабі визначають шукану швидкість точки В і відносну швидкість цієї ж точки при її обертанні разом з тілом навколо

полюса А. В цьому трикутнику відомі всі кути і одна сторона VA. З трикутника Oab знаходимо:

 

3. Визначимо кутову швидкість обертання стержня АВ.

Оскільки

 

 

4. Знайдемо швидкість точки D , що лежить посередині відрізка АВ. Для цього запишемо формулу для швидкості точки D відносно того ж самого полюса точки А:

 

 

Швидкість VDA має той же напрям, що і VBA , а за модулем дорівнює:

 


Відклавши від точки "а " a (рис.4.12) вектор VDA , рівний половині вектора VBA , отримаємо точку " d " . Вектор, що проведений з точки початку побудови (точки О ) в точку "d " зображає швидкість VD точки D .

Оскільки сторони Оa та ad трикутника Оad рівні між собою і кут між ними 600, то трикутник рівносторонній. Таким чином:

 

Розв’язання задачі за допомогою миттєвого центра швидкостей .

1. Визначимо положення миттєвого центра швидкостей. Для цього з точок А і В (рис.4.13) проведемо перпендикуляри до швидкостей VA і VB. Перетин цих перпендикулярів (точка P) буде

миттєвим центром швидкостей.

2. Визначимо миттєві радіуси. Оскільки трикутник АВР прямокутний, то:

 

 


3. Обчислимо кутову швидкість обертання фігури навколо миттєвого центра швидкостей:

 

 

4. Знайдемо швидкості точок В і D:

 

 

Якщо треба було б визначити тільки величину швидкості VB , то можна було б скористатися теоремою про рівність проекцій двох точок плоскої фігури на пряму, що з’єднує ці точки:

 

ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

 

Динамікою називається розділ теоретичної механіки, в якому вивчається механічний рух матеріальних об’єктів в залежності від фізичних факторів, тобто від причин, що викликають цей рух.

Нагадаємо, що у класичній механіці рух матеріальних об’єктів розглядається за допомогою абстрактних моделей: матеріальної точки, механічної системи та абсолютно твердого тіла.

Матеріальна точка – це матеріальне тіло, розмірами та різницею в русі його частин якого можна знехтувати.

Механічною системою (системою матеріальних точок) називається сукупність матеріальних точок, які між собою взаємодіють, тобто, положення та рух яких взаємопов’язані.

Абсолютно твердим тілом називається сукупність матеріальних точок, відстані між якими під час руху не змінюються.

Рух механічної системи визначається рухом усіх його точок. Тому вивчення динаміки починається з вивчення руху однієї матеріальної точки.

У динаміці точки розглядаються дві основні задачі:

- рух точки задається, а необхідно знайти сили, які цей рух реалізують (перша, або пряма задача);

- сили задаються, а необхідно визначити закон руху, який є результатом дії цих сил.

Для розв'язання цих задач використовуються базові відомості зі статики та кінематики, а також закони динаміки, тобто, загальні закони руху тіл та механічних систем під дією прикладених до них сил. Ці закони вперше в найбільш повному вигляді сформульовані Ісааком Ньютоном наприкінці XVII століття.

ПРЯМА ЗАДАЧА ДИНАМІКИ ТОЧКИ

Зміст

1.1. Основні закони динаміки.

1.2. Рівняння руху матеріальної точки у декартовій і природній системах відліку.

1.3. Дві основні задачі динаміки матеріальної точки.

1.4. Контрольні запитання.

1.5. Порядок розв’язування прямої задачі динаміки невільної матеріальної точки.

1.6. Приклади розв’язування задач.

1.1. Основні закони динаміки

У динаміці вивчається рух матеріальних систем у зв’язку з діючими на них силами. Найпростішим об’єктом механіки є матеріальна точка.

Матеріальна точка – тіло, розмірами якого при розв’язуванні даної задачі можна знехтувати.

Якщо на положення матеріальної точки і на її рух не накладені ніякі обмеження, точка називається вільною, у протилежному випадку маємо справу з рухом невільної точки.

Рух механічної системи визначається рухом усіх її матеріальних точок. Тому вивчення динаміки починається з вивчення руху однієї матеріальної точки.

В основі динаміки лежать три закони І.Ньютона, які вперше в найбільш повному й закінченому вигляді були сформульовані у книзі “Математичні начала натуральної філософії” (1686 р.).

1. Перший закон (закон інерції):ізольована від зовнішніх дій матеріальна точка зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки дія інших тіл не змінить цього стану.

2. Другий закон (основний закон динаміки):cила, яка діє на матеріальну точку, дорівнює добутку маси точки на її прискорення, а напрямок сили співпадає з напрямком прискорення:

 

Якщо на точку діє декілька сил, то їх можна замінити рівнодіючою:

 

Якщо точка рухається по якійсь поверхні, то на неї, крім активних сил діє і реакція в’язі N . Таким чином у загальному випадку у рівнянні (1.1):

3. Третій закон (закон рівності дії і протидії):Сили взаємодії двох матеріальних точок рівні між собою за модулем і направлені вздовж однієї прямої, яка з’єднує ці точки, у протилежні боки.

1.2. Рівняння руху матеріальної точки у декартових природних системах відліку

Замість рівняння руху (1.1) у векторній формі можна одержати рівняння у скалярній формі, якщо спроектувати (1.1) на осі декартової або природної систем координат. Рівняння руху у декартових координатах:

 

1.3.1. Дві основні задачі динаміки матеріальної точки

Перша задача (пряма): знаючи масу точки m та закони її руху, наприклад, у декартових координатах:

 

визначити рівнодіючу прикладених до точки сил.

Спочатку треба визначити проекції прискорення точки на осі координат:

 

 

Використовуючи рівняння руху точки у декартових координатах (1.3), визначаємо значення проекцій рівнодіючої прикладених до точки сил, а також її модуль:

 


Напрямок вектора сили відносно осей координат визначається за допомогою напрямних косинусів:

 

Друга задача (обернена): знаючи сили, які діють на матеріальну точку, її масу, а також початкові умови (положення точки та її швидкість у деякі моменти часу, не обов’язково у початковий), одержати рівняння руху точки.

1.4. Контрольні запитання

 

1. Сформулюйте основні закони динаміки.

2. Яке рівняння називається основним рівнянням динаміки?

3. Що є мірою інертності твердих тіл при поступальному русі?

4. Чи залежить вага тіла від його місця знаходження на Землі?

5. Яку систему відліку називають інерціальною?

 

 

Порядок розв’язування прямої задачі динаміки

1. Зобразити на рисунку матеріальну точку у проміжному положенні.

2. Показати активні сили і реакції в’язей, які на неї діють.

3. Вибрати систему відліку. Невільної матеріальної точки

4. Записати векторне рівняння руху точки у формі другого закону динаміки (1.1).

5. Спроектувати векторне рівняння руху точки на вибрані осі координат.

6. Із одержаних рівнянь визначити необхідні величини.

 

1.6. Приклади розв’язування задач

 

Задача № 1

В шахту починає опускатися рівноприскорено ліфт, маса якого m = 280 кг. У перші 10 с він проходить 35 м.

Визначити натяг T каната, на якому висить ліфт.

Розв’язок. Зобразимо кабіну ліфту у довільному положенні (рис.1.1). На ліфт діє сила тяжіння P , яка спрямована донизу, і натяг канату T , який спрямовано вздовж троса догори. Рух відбувається по вертикалі, тому спрямуємо вісь x вертикально донизу відповідно до напрямку швидкості та прискорення. Запишемо рівняння руху кабіни ліфту у формі другого закону Ньютона:

де a - прискорення кабіни ліфту.

З урахуванням сил, що діють на кабіну ліфту, рівняння буде мати вигляд:


Спроектуємо це рівняння на вісь x :

 

 


Ми одержали залежність натягу канату від прискорення, з яким рухається кабіна ліфту. Проаналізуємо цю залежність. Може бути три випадки:

• a = 0 - кабіна ліфту рухається рівномірно або нерухома;

• a > 0 - кабіна ліфту має прискорення, яке за напрямком співпадає з додатним напрямком осі x (униз);

• a < 0 - кабіна ліфту з прискоренням піднімається угору.

У першому випадку

Тобто, якщо кабіна ліфту рухається без прискорення у будь-якому напрямку, натяг троса буде дорівнювати силі тяжіння кабіни ліфту.

У другому випадку натяг троса менший за силу тяжіння кабіни ліфту, бо

 

У третьому випадку натяг троса завжди більший за силу тяжіння кабіни ліфту,

Наприклад, коли тобто натяг троса удвічі перевищує силу тяжіння кабіни ліфту. У нашій задачі прискорення визначиться з виразу для шляху при рівнозмінному русі з урахуванням того, що початкова

 

 


Задача №2

До тіла вагою P = 3 H, яке лежить на столі, прив’язали нитку, другий кінець якої (рис.1.2) держать у руці.

Визначити, з яким прискоренням a треба піднімати тіло вгору вертикально, щоб нитка обірвалася, якщо вона рветься коли натяг досягає величини T = 4,2 Н?

Розв’язок: Зобразимо тіло з прив’язаною до нього ниткою (рис.1.2). Покажемо сили, які

діють на тіло: сила тяжіння P та натяг нитки T . Вісь x спрямуємо вертикально вгору

у додатному напрямку швидкості та прискорення. Запишемо рівняння руху тіла у

векторній формі:

Спроектуємо це рівняння на вісьx :

Звідки

 


Задача № 3

Рух тіла масою m = 1кг виражається рівняннями: де x і y - в метрах; t - в секундах.

Визначити силу Q , яка діє на тіло , приймаючи його за матеріальну точку (рис.1.4).

Розв’язок. Проекції на осі координат сили Q , яка прикладена до тіла, визначаються за

формулами: - проекції прискорення тіла на осі

координат.

У даному випадку

 

 

 


ТЕОРЕМА ПРО ЗМІНУ КІЛЬКОСТІ РУХУ ТОЧКИ І МЕХАНІЧНОЇ СИСТЕМИ

Зміст

7.1. Імпульс сили.

7.2. Теорема про зміну кількості руху точки і системи.

7.3. Закон збереження кількості руху системи.

7.4. Контрольні запитання.

7.5. Порядок розв’язування задач на застосування теореми про зміну кількості руху точки і механічної системи.

7.6. Приклади розв’язування задач.

7.1. Імпульс сили

Для характеристики дії сили за деякий проміжок часу вводиться поняття імпульсу сили. Якщо сила F - стала, то імпульс сили S дорівнює

Напрямок імпульсу сили S співпадає з напрямком F . Одиниця вимірювання імпульсу у системі СІ - кгм/с, у сис-

темі МкГс – кГ·с.

Якщо сила F змінна, то імпульс сили за кінцевий проміжок часу t1 визначається як інтеграл:

 

Імпульс сили – складна фізична величина, яка одночасно враховує вплив модуля, напрямку і часу дії сили на зміну стану руху тіла. Модуль імпульсу сили можна визначити через його проекції на осі координат:

 

 

Кути між вектором S та осями координат визначаються з таких співвідношень:

 

 

7.2. Теорема про зміну кількості руху точки і системи

Однією з мір руху точки є кількість її руху. Кількістю руху точки називається вектор q , який дорівнює добутку маси m точки на її швидкість V та направлений за вектором швидкості: V =m q .

Поняття кількості руху було введено у механіку Декартом і покладено в основу механіки Ньютоном.

Одиниця вимірювання кількості руху у системі СІ - кгм/с, у системі МкГс - кГ·с.

Якщо спроектувати вектор кількості руху на осі координат, то її проекції визначаються наступним чином:


Теорема про зміну кількості руху точки у диференціальній формі має вигляд:

 

 

Похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює геометричній сумі усіх сил, які діють на цю точку.

Теорема про зміну кількості руху точки в інтегральній формі:

 

Зміна кількості руху точки за деякий проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх сил, які прикладені до точки.

Векторному рівнянню відповідають три рівняння у проекціях на осі координат: