Понятие структуры

Лекция 15. Математические структуры

15.1. Понятие структуры

15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля

15.3. Матричные алгебраические структуры

Проникновение методов одних наук в другие в наши дни происходит в невиданных ранее масштабах. Методы математики находят применение в лингвистике, биологии, экономике, технике, социологии, строительстве. Вместо того, чтобы как прежде рассматривать «индивидуальные» задачи, исследователи обратились к решению «массовых» задач.

Так, например, в лингвистике возник вопрос о выяснении общей структуры языков. При проектировании заводов целесообразно сосредоточить внимание на типовое проектирование. При анализе работы ЭВМ используют общие признаки работы машин.

В этих случаях мы отвлекаемся от конкретных особенностей основных свойств – такой подход к изучению различных областей науки называется аксиоматическим методом.

Аксиоматический метод – способ построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Например, в геометрии Евклида (III в. до н.э.) пятая аксиома- через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну прямую, параллельную данной:

а в геометрии Лобачевского пятая аксиома - через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной:

Развитие аксиоматического метода в алгебре привело к созданию новой математической теории – абстрактной алгебры, которая включает в себя также разделы, как теория групп, теория колец, теория поля, векторная алгебра, тензорная алгебра.

Аксиоматическая точка зрения отличается формальным подходом к построению теории:

1) перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;

2) указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

3) с помощью определений вводятся дальнейшие понятия;

4) исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся дальнейшие факты – теоремы.

Проблема непротиворечивости и полноты системы аксиом решается методом моделирования или интерпретации.

Метод математической индукции – особый метод рассуждений:

а) утверждение справедливо при n = 1;

б) при n = k утверждение справедливо, если удается доказать, что утверждение справедливо при n = k +1, то оно справедливо при любом натуральном n.

Доказательство: 1) S_n = 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n²

2) n³ – 4 > 1000n² + 3n верно при любом n ≥ 2000.

Определение 1. Структурой называется тройка , где Е – некоторое множество элементов a, b, c … , a - две двухместные операции, удовлетворяющие аксиомам:

1) a a = a и a a = a ,

2) a b = b a и a b = b a ,

3) (a b) с = a b с) и (a b) с = a b с ) ,

4) (a b) а = а и (a b)

Например, все подмножества некоторого множества с операциями объединения и пересечения образуют структуру.

85.15.2. Алгебраические структуры: группы и полугруппы, подгруппы, кольца и поля

«Математические структуры – родовое название, объединяющее понятия, которые применимы к множествам, природа элементов которых не определена. Чтобы определить структуру, задают отношения, в которых находятся элементы множества, затем полагают, что данные отношения удовлетворяют условиям – аксиомам структуры.»

Алгебраическая структура – это система < А;f₁, f₂ , … f_n ,… >, первый элемент которой А – множество, ; f₁, f₂ , … f_n ,…– заданные на этом множестве операции.

Раздел алгебры, занимающийся изучением общих свойств алгебраических структур, называется общей алгеброй.

Определение 1. Группа – это пара < А, f >, где А – некоторое множество, а f – бинарная (двухместная) операция, удовлетворяющая аксиомам:

1) f ассоциативна f (f (a, b), c) = f (a, f (b, c)) ,

2) существует единичный элемент e такой , что

f (e, a) = f (a, e) = a

3) существует обратный элемент: a^-1 :

f (a, a^-1) = f (a^-1, a) = e .

Операция f называется групповой операцией (или групповым умножением), элементы множества А –называются элементами группы.

Во всякой группе единичный элемент однозначно определен, и для каждого элемента группы существует единственный обратный элемент: a^-1

Определение 2. Группа < А, f > называется коммутативной, если

f (a, b) = f (b, a) .

Примеры групп:

1) Множество < Z ,+ > целых чисел с операцией сложения образует коммутативную группу,

2) Множество < Q ,+ > рациональных чисел образует коммутативную группу по сложению,

3) Множество < Q\{0}, ∙ > рациональных чисел отличных от нуля образует коммутативную группу по умножению,

4) Множество < Q₊ ,∙ > рациональных положительных чисел образует коммутативную группу по умножению,

5) Множество < R ,+ > всех действительных чисел образует коммутативную группу по сложению,

6) Множество < R\{0}, ∙ > всех действительных отличных от нуля чисел образует коммутативную группу по умножению,

7) Множество всех векторов на плоскости (или в пространстве) образует коммутативную группу по сложению.

Замечание. Множество < Z ,∙ > целых чисел не образует группу по умножению.

Определение 3. Пара <А, f > называется полугруппой, если А– некоторое множество, а f –двухместная ассоциативная операция на этом множестве

f ( f (a,b), c) = f ( a, ( f (b,c) ).

Понятие полугруппы более широкое, чем понятие группы. Если на каком-то множестве чисел А определены операции сложения или умножения (не выводящие за пределы множества), то это множество образует относительно заданной операции полугруппу.

Определение 4. Группа <Н, h> называется подгруппой группы <А, f >, если H C A и h = f на множестве H (операции h и f совпадают на множестве H ).

Примеры: 1) в группе < Z ,+ > выделим подгруппы

а) < множество четных чисел ,+ > , нуль – четное число, обратное к четному – четное число,

б) < множество, содержащее только 0 , + > ,

в) < множество всех целых чисел , + > ;

2) в группе < R ,+ > выделим подгруппы

а) < Z ,+ > ,

б) все подгруппы целых чисел по сложению,

в) < рациональные числа, представимые в виде дробей с нечетными знаменателями ,+ >, если знаменатели чисел нечетные, то их сумма имеет нечетный знаменатель, 0 = , и противоположное число - имеет нечетный знаменатель.

Единичная подгруппа и вся группа называются тривиальными подгруппами.

Определение 5. Кольцо – это тройка < А , + , > , где на множестве А заданы операции сложения и умножения, причем

1) по сложению - это коммутативная группа a+b = b +a ,

2) по умножению - это полугруппа ( а ∙ в ) ∙ с= а ∙ ( в ∙ с ) ,

3) и выполняется закон дистрибутивности (a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c .

Если операция умножения коммутативна, то говорят, что кольцо коммутативно. Итак, в коммутативном кольце:

1) a+b = b +a ,

2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) ,

3) а + 0 = a ,

4) а + ( - а ) = 0 ,

5) а ∙ в = в ∙ а ,

6) ( а ∙ в ) ∙ с= а ∙ ( в ∙ с ) ,

7) (a + b) ∙ c = a ∙ с + b ∙ c..

Аксиомы 1) – 4) – это аксиомы коммутативной группы по сложению, а аксиомы 5) - 6)- это аксиомы коммутативной группы по умножению.

Примеры колец:

1) кольцо рациональных чисел,

2) кольцо четных чисел ,

3) кольцо действительных чисел,

4) кольцо многочленов с целочисленными коэффициентами,

5) множество многочленов с рациональными коэффициентами ,

6) множество числовых функций с обычными операциями сложения и умножения.

Если в кольце есть единичный элемент е ∙ а = а ∙ е = а, тогда такое кольцо называется кольцом с единицей.

Определение 6. Поле – это кольцо, в котором для всех отличных от нуля элементов, существуют обратные.

Примеры полей:

1) кольцо рациональных чисел;

2) кольцо действительных чисел;

3) а + в , где а , в – рациональные числа.

Не являются полями:

1) кольцо целых чисел ,

2) кольцо четных чисел ,

3) кольцо многочленов ,

4) а + в , где а , в – целые числа.

В поле вместе с любыми двумя элементами находятся их сумма, разность, произведение и частное. Кольцо более широкое понятие, чем поле.