Приведение квадратичной формы к каноническому виду

В линейной алгебре часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. В разобранном выше примере квадратичная форма стала проще( одно слагаемое вместо трех), в общем случае наиболее простым видом является диагональный вид квадратичной формы.

Определение1. Квадратичная форма называется канонической или диагональной, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. =0 при

f(X)=f(х₁, х₂,… х_n ) =

Матрица канонической квадратичной формы является диагональной

А = .

Теорема 1. (Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду) Любая квадратичная форма с помощью неособенного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Теорема 2. (Закон инерции квадратичных форм) Если вещественная квадратичная форма вещественными неособенными преобразованиями переменных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

Определение 2. Квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов любого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух столбцов равна нулю.

Для ортогональной матрицы Р обратная к ней совпадает с транспонированной к матрице Р: Р^-1=Р^Т.

Определение 3. Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональная.

Теорема 4. Каждая вещественная квадратичная форма f(х₁, х₂,… х_n ) с матрицей А при помощи некоторого ортогонального преобразования переменных Х = Р∙ У может быть приведена к диагональному виду

L( )= λ₁ λ₂ λ_n

Коэффициенты λ₁ , λ₂ , … , λ_n при квадратах новых переменных с точностью до порядка расположения определены формой f(х₁, х₂,…, х_n) однозначно, они совпадают с корнями характеристического многочлена det(A- λE)=0. Столбцы Т₁ , Т₂ , …, Т_n ортогональной матрицы Р являются единичными собственными векторами матрицы А, соответствующими собственным числам λ₁ , λ₂ , … , λ_n .

Замечания

1) Коэффициенты λ₁ , λ₂ , … , λ_n при квадратах новых переменных являются собственными значениями матрицы А квадратичной формы f(х₁, х₂,…, х_n).

2) Характеристический многочлен симметричной матрицы с действительными элементами имеет только действительные корни.

3)Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пример 1. Квадратичную форму f(x,y) =x²+y²+3xy привести к каноническому виду.

Решение. Для матрицы квадратичной формы А= составим характеристическое уравнение det(А-λЕ)= или и найдем его корни: λ₁= -1/2, λ₂= 5/2. Составим новую каноническую квадратичную форму L(

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 15х² - 2 используя теорию квадратичных форм.

Решение. Составим квадратичную форму f(x,y)= 15х² - 2 с матрицей А= и найдем корни характеристического уравнения det(А - λЕ) = или λ²-24λ+80=0, корни

λ₁= 20, λ₂= 4. Составим новую квадратичную форму L(

Уравнение кривой имеет вид или =1, получили каноническое уравнение эллипса.

Пример 3.Квадратичную форму f(х₁, х₂, х₃) = + 2 привести к диагональному виду.

Решение. Вектор х задан в некотором ортонормированном базисе своими ко­ординатами х = (х₁, х₂, х₃). Введем симметричный оператор Р (х), матрицу которого положим равной матрице квадратичной формы

.

Составим характеристическое уравнение

=-3λ²-λ³ = 0.

Корни уравнения λ₁= -3, λ_2,3 = 0 . В новом ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов матрицы, вектор х имеет координаты х = (у₁, у₂, у₃) . Поэтому f(х)=

Замечание. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Например, заданную квадратичную форму легко преобразовать без использования симметричного оператора:

f(х₁, х₂, х₃) = + 2 =- - 2 )=-(х₁-х₂+х₃)².

Линейное преобразование х₁-х₂+х₃ приводит квадратичную форму к каноническому виду f(х)= - Однако в этом случае вектор х = ( уже не является разложенным по ортонормированному базису, составленному из собственных векторов матрицы.

Пример 4. Квадратичную форму f(х) = привести к каноническому виду и выписать ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Решение. Матрица квадратичной формы . Составим характеристическое уравнение = - λ³ +18λ²-99λ+162=0, корнями которого являются числа λ₁=3, λ₂=6, λ₃=9 – собственные значения матрицы квадратичной формы, а соответствующие им собственные векторы имеют вид

Х⁽¹⁾= Х⁽²⁾= Х⁽³⁾=

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

1) Канонический вид квадратичной формы:

L( )= 3 6 9

2) Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду представлено ортогональной матрицей, столбцы которой являются соответствующими единичными собственными векторами матрицы А квадратичной формы Р= , при этом Р^Т∙А∙Р=