Электрический поверхностный эффект
Пусть вдоль шины направлен переменный ток. Положительное направление тока и расположение осей декартовой системы координат даны на рис5.3.
Рис.5.3
По закону полного тока найдем напряженность магнитного поля на поверхности шины. Так как в данной задаче, как и в предыдущей, h >2a, то при подсчете можно в первом приближении пренебречь составляющей интеграла вдоль горизонтальных сторон шириной 2а.
Тогда, обозначив напряженность поля на .поверхности шины через , получим 2h=İ. Отсюда = İ/2h.
При составлении уравнений для определения постоянных интегрирования учтем, что слева от шины напряженность ориентирована вдоль положительного направления оси y, а справа – в отрицательном направлении оси y.
Общее решение для плоской волны:
= Ċ1epz +Ċ2e-pz.
Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия:
при z = – а = Ċ1e-pа+ Ċ2epа,
при z = а – = Ċ1epа+ Ċ2e-pа
Совместное решение двух последних уравнений дает Ċ1= – /2sh pa.
Подставим Ċ1 и Ċ2 в общее решение. Будем иметь
= – ·sh pz/sh pa = – (İ·sh pz)/( 2h ·sh pa).
Напряженность электрического поля Ė направлена вдоль оси x и равна Ė = –d /(σ dz)
или Ė= (p İ ch pz) /(2σh · sh pa).
Плотность тока в любой точке пластины
= σĖ=pİ · ch pz /(2h · sh pa).
Минимальное значение плотности тока будет в средней плоскости шины при z = 0.
Оно равно pİ/(2h · sh pa).
График изменения модуля в функции от z представлен на рис. 5.4. На том же рисунке изображена вторая кривая, она дает зависимость модуля плотности тока от z.
Рис.5.4
Чем толще шина, чем больше σ, μ, и ω, тем сильнее проявляется поверхностный эффект, т. е. тем более неравномерным становится распределение плотности тока по сечению шины. И если частота ω очень велика, то может оказаться, что ток будет протекать только по тонкому поверхностному слою шины.
При тонких шинах и относительно небольших частотах поверхностный эффект проявляется в малой степени.
Рассмотрим числовой пример. Медная шина высотой h =2 см и толщиной 2а=0,1 см имеет: σ = 5,6*107 См/м; μr=1. По ней протекает переменный ток I=10 А, угловая частота ω = 105 рад.
Требуется выяснить, во сколько раз плотность тока на краю шины будет больше плотности тока, соответствующей равномерному распределению (когда поверхностный эффект отсутствует). Определяем k=√ωμσ/2=18,7 1/см, kа=18,7·0,05=0,935; 2kа=1,87.
Плотность тока на поверхности шины = İ/(2h· th pa),
thpa=(sh2κа+jsin2κа)/(ch 2κа+cos2κа)
=(3,167+j 0,956)/( 3,32–0,292)=1,09 ej16˚ 25΄.
Следовательно,
z=a = 18,7 √2ej45˚ ·10/(2·2·1,09ej16˚25′)= 60,6ej28˚35′ А/cм2.
Плотность тока при равномерном распределении
J=I/2ha=10/0,2=50 А/см2.
Таким образом, в рассматриваемом примере плотность токанаповерхности шины оказалась всего на 20% ( 60,6/50 ≈ 1,2) больше чем плотность тока при равномерном распределении.
Определение активного и внутреннего индуктивного сопротивления проводников на переменном токе часто производят при помощи теоремы Умова - Пойнтинга в комплексной форме. С этой целью подсчитывают поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника на длине в один метр и делят его на квадрат тока, протекающего по проводнику, получают комплекс сопротивления проводника на единицу длины (на один метр).
Действительно,
и Z =R+jX= /I2 .
В качестве примера определим активное и внутреннее индуктивное сопротивление прямоугольной шины длиной в один метр. Энергия в шину проникает с двух сторон. Поверхность шины с двух сторон на длине в 1 м равна 2h1.
Z=R+jX=
или Z= 18,7 √2ej45˚/(5,6·105·4·1,09 ej16˚25′)=9,5·10-4+j 5,16·10-4 Ом/м
Следовательно, активное сопротивление провода на 1 см длины шины равно 9,5·10-6 Ом и внутреннее индуктивное сопротивление 5,16· 10-6 Ом.
Для сравнения заметим, что омическое сопротивление единицы длины плоской шины, т. е. сопротивление постоянному току, равно 8,92·10-6 Ом/м. Таким образом, в силу поверхностного эффекта активное сопротивление увеличилось с 8,92·10-6 до 9,5·10-6 Ом/м, т. е. на 6%.
В рассматриваемом числовом примере в силу того, что шина довольно тонкая и частота сравнительно невысока, активное сопротивление шины лишь очень на немного превышает омическое сопротивление. В других случаях это превышение может быть много больше.