Граничные условия для составляющих векторов поля.

Граничные условия в электростатическом поле

Для решения дифференциальных уравнений с частными производными необходимо знать граничные условия.

Уравнения поля в дифференциальной форме справедливы в области непрерывности входящих в них функций. В реальных условиях имеются границы раздела сред с разными электрическими свойствами, на которых функции, входящие в уравнения терпят разрыв.

Математические формулы, отражающие законы электростатического поля интегральной форме на границах раздела сред с разными электрическими свойствами, называются граничнымиусловиямив электростатическом поле.

Окружим точку M на границе раздела сред элементарной призмой, у которой высота бесконечно мала по срав­нению с линейными размерами основания. Применим к поверхности призмы теорему Гаусса, при этом пренебрежем потоком вектора через боковые поверхности ввиду их малости. Тогда получим:

Отсюда получаем граничное условие нормальной составляющей вектора электрического смещения

D_n2–D_n1= σ.

Нормальная проекция вектора электрического смещения на границе раздела двух сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на этой границе.

При отсутствии на поверхности раздела сред поверхностного заряда имеем

.

На границе раздела двух диэлектриков в случае отсутствия на границе раздела двух сред свободного заряда равны нормальные составляющие вектора электрического смещения.

Окружим выделенную точку M элементарным прямоугольником, высота которого бес­конечно мала по сравнению с его длиной. Найдем значение циркуляции вектора по периметру прямоугольника:

.

Отсюда

или

.

На границе раздела двух диэлектриков равны тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля..

Из граничных условий получим

или , откуда следует

― условие преломления линий поля на поверхности раздела двух диэлек­триков с различными значениями и диэлектрической проницаемости ( и ).

Рассмотрим граничные условия на поверхности раздела диэлектрика с проводником.

Электростатическое поле внутри проводника отсутствует(E₁= 0, D₁=0), а его поверхность явля­ется эквипотенциальной. На поверхности проводника бесконечно тонким слоем будут распо­лагаться свободные разряды с поверхностной плотно­стью .

На границе раздела проводящего тела и диэлектрика вектора D и E перпендикулярны к поверхности проводящего тела.

Плотность свободных зарядов на поверхности проводящего тела равна нормальной составляющей вектора электрической индукции:

σ=D_n=D.

Нормальная проекция вектора электрической индукции (смещения) на поверхности проводника равна плотности свободного заряда, расположенного на этой поверхности.