Теорема 2 о достаточных условиях существования экстремума

Теорема 1 о достаточных условиях существования экстремума

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку первого рода и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме быть может, самой точки Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

то в точке функция имеет максимум;

если

то в точке функция имеет минимум.

При этом надо иметь ввиду, что условия должны выполняться для всех значений достаточно близких к т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки

Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. выполняются условия Применяя теорему Лагранжа к разности получим

и для достаточно близких к выполняется условие значит в точке - максимум. В точке и для всех значений достаточно близких к выполняются неравенства

Значит функция возрастает как при так и при Следовательно при функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Если для дифференцируемой функции в некоторой точке ее первая производная то в этой точке функция имеет экстремум, а именно:

1) если то - минимум функции и

2) если то - максимум функции

Доказательство. 1) Пусть то Таким образом, переменная величина при Отсюда получаем, что числитель и знаменатель дроби и при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. На основании теоремы 1 число есть минимум функции

2) Аналогично доказывается, что если а за ее производную Так как кривая на выпукла, то то Используя теорему Лагранжа, будем иметь - возрастающая функция.

Пусть ; тогда и в силу возрастания , следовательно, при кривая выпукла, а при - вогнута.