Катастрофические кодеры

Свободное расстояние. Спектр

Как и в случае блоковых кодов, способность сверточного кода исправлять ошибки в канале связи определяется тем, насколько "далеко" друг от друга располагаются его кодовые слова. Для многих практических задач хорошей мерой близости служит расстояние Хэмминга между кодовыми словами. Минимальным расстоянием блокового кода называют минимальное из попарных расстояний между кодовыми словами. Особенность сверточного кода заключается в том, что его слова имеют бесконечную длину. Тем не менее, минимальное расстояние между парами кодовых слов определено однозначно и эту величину называют свободным расстоянием сверточного кода. Обозначим ее как d_f.

Мы определили сверточный код как линейный код. Для блоковых линейных кодов минимальное расстояние может быть вычислено как минимальный вес ненулевого кодового слова. Точно также для сверточного кода свободное расстояние находится как путь в его решетке, имеющий наименьший вес. Этот путь будет иметь бесконечную длину, но почти на всей длине будет совпадать с нулевым путем. При поиске пути минимального веса достаточно рассматривать только пути, ответвляющиеся от нулевого на начальном ярусе и затем сливающиеся с нулевым путем. Это множество путей называют первым неправильным поддеревом. Легко установить с помощью рис. 4, что свободное расстояние кода (5,7) равно d_f= 5 . Слово минимального веса соответствует пути, который выходит из узла 00, затем проходит через узлы 10, 01, 00, 00, … Этот же путь легко проследить и по диаграмме конечного автомата, представленной на рис. 5.

При анализе помехоустойчивости сверточных кодов выясняется, что на величину вероятности ошибки декодирования влияет не только свободное расстояние кода, но и то, как много слов малого веса содержит код. Обозначим через N_d число слов веса d, соответствующих путям, ответвляющимся от нулевого пути на нулевом ярусе ( путям первого неправильного поддерева). Набор чисел {N_d} ,d=d_f,d_f+1,… называют спектром сверточного кода.

Рассмотрим влияние ошибок декодирования сверточного кода на точность восстановления передаваемого сообщения. Предположим, что кодирование выполнялось кодером (5,7) с кодовым ограничением 2 и передавалась информационная последовательность из бесконечного числа подряд идущих нулей. Пусть в результате ошибок в канале связи декодер принял решение в пользу кодового слова минимального веса, т. е. кодового слова 11 01 11 00 00 … Этому кодовому слову соответствует информационная последовательность 100…. Это означает, что данная ошибка декодирования привела к искажению одного бита информации. Если же ошибки в канале привели к декодированию в пользу слова 11 10 10 11 00 00… веса 6, то с выхода декодера получателю поступит информационная последовательность 1100…, т.е. уже 2 бита будут воспроизведены неправильно. Таким образом, если важна вероятность ошибки на бит, то при анализе свойств кода нужно учитывать не только его спектральные характеристики, но и то, как ошибки в канале могут отразиться на передаваемом сообщении. Рассмотрим, например, кодер, показанный на рис. 6.

Рис.6.

Этому кодеру соответствует конечный автомат, приведенный на рис. 7.

Рис. 7. Конечный автомат, описывающий работу кодера кода (5,3)

Воспользовавшись схемой кодера либо диаграммой, легко убедиться, что информационной последовательности бесконечного веса 1111…11100 соответствует кодовая последовательность 10 11 00 00 … 00 10 11 веса 6. При передаче длинной последовательности нулевых информационных символов всего 6 ошибок в канале связи достаточно для того, чтобы вместо нулевого кодового слова было принято записанное выше кодовое слово, содержащее длинную последовательность единиц. Этот пример показывает, что для некоторых сверточных кодеров небольшое число ошибок в канале связи может стать причиной большого числа ошибок декодирования.

Сверточные кодеры, содержащие кодовые слова бесконечного веса, соответствующие информационным последовательностям конечного веса, называются катастрофическими.

Сверточный кодер cо скоростью R=1/n является катастрофическим, если его порождающие полиномы имеют общий делитель отличный от 1.