Простые гипотезы

Пусть проверяются две гипотезы о сигнале:

: ;

: .

Такие сигналы типичны для двоичных каналов связи с активной паузой ( ), радиолокации и каналов связи с пассивной паузой ( - отсутствие цели, - наличие цели; - сигнал нуля, - сигнал единицы). Гипотезы называются простыми, если полностью известны сигналы , , в том числе время прихода, закон распределения и функция корреляции шума.

1.3. Радиолокация ( )

Этот случай в статистической радиотехнике трактуется как обнаружение сигнала [5,6]. Задача решается согласованной фильтрацией – преобразованием входного сигнала линейной системой с весовой функцией

,

где функция - решение неоднородного интегрального уравнения Фредгольма (уравнения согласованной фильтрации)

. (1)

Сигнал на выходе согласованного фильтра

в момент окончания входного сигнала ( )

(2)

есть случайное число, в математической статистике называемое статистикой проверки гипотез. При гипотезе математическое ожидание статистики

,

при гипотезе

. (3)

Дисперсия статистики при обеих гипотезах

.

С учетом однородного уравнения (1) дисперсия

(4)

равна математическому ожиданию при гипотезе . Таким образом (рис. 1),

, .

Гипотеза принимается (принимается решение о наличии сигнала в анализируемом входном сигнале ), если выполняется условие

.

В противном случае принимается гипотеза - принимается решение о том, что входной сигнал был просто отрезком шума ( ). Критический уровень назначается заранее.

Качество обнаружения в радиолокации оценивается вероятностью ложной тревоги (рис. 1)

(5)

и вероятностью обнаружения

, (6)

- интеграл вероятности.

Рис. 1. Плотности распределения статистики

Согласованная фильтрация обеспечивает максимальное отношение сигнал – шум, в литературе по статистической радиотехнике обозначаемое . Отношение квадрата математического ожидания к дисперсии

(7)

называется отношением сигнал – шум по мощности. Согласованная фильтрация обеспечивает равенство отношения сигнал – шум по мощности (7), математического ожидания статистики при гипотезе (3) и дисперсии статистики (4). Это обстоятельство определяет безразмерность расчетных формул согласованной фильтрации.

Работа согласованного фильтра поясняется на рис. 2. Импульсный сигнал длительностью и сигнал на выходе согласованного фильтра в отсутствии шума показаны на рис. 2-а. Сигнал в момент достигает максимума (2), равного математическому ожиданию (3). Эти же сигналы при наличии шума и критический уровень изображены на рис. 2-б. Случайность значения - причина ошибок обнаружения.

Рис. 2. Сигналы в согласованном фильтре

Критический уровень в радиолокации назначается, исходя из заданной вероятности ложной тревоги :

.