A) элементтері болса 2 страница
В алгебре логики число функций с n переменными конечно и однозначно зависит от n. Оно определяется числом возможных сочетаний нулей и единиц в последнем столбце таблицы истинности соответствующем значениям функции. Отсюда вытекает, что полное число возможных функций n переменных равно N(n) = 2M(n) , где M(n) = 2n – число строк таблицы.
Любую функцию алгебры логики для n > 2 можно выразить с помощью функций двух переменных. Например,
y = f ( x1 , x2 , x3 ) = g ( z , x3 ), где z = φ ( x1 , x2 ).
Поэтому, в алгебре логики детально рассматриваются только функции одной и двух переменных. Через наборы данных функций выражаются все остальные функции для любого числа переменных.
1.3.Логические функции одной переменной.
Число функций одной переменной равно 
. Эти функции в табличной форме определяются следующим образом.
| Таблица 1.3.1. | ||||||||||
| x | yo | x | y1 | x | y2 | x | y3 | |||
Для общего обзора всех функций лучше воспользоваться более компактной формой совмещённого представления таблиц (табл. 1.3.2).
| Таблица 1.3.2. | ||||
| x | y0 | y1 | y2 | y3 |
Каждая из функций таблицы имеет название и определённое аналитическое представление.
y0 – «нулевая функция» или «константа нуля», y0 = 0.
y1 – «инверсия» или операция «НЕ», y1 = 
, читается «НЕ 
».
y2 – функция «повторение», y2 = 
.
y3 – «единичная функция» или «константа единицы», y3 = 1.
Число функций двух переменных равно 
. Совмещённая таблица истинности для этих шестнадцати функций имеет вид.
| Таблица 1.4.1. | |||||||||||||||||
| x2 | x1 | y0 | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | y7 | y8 | y9 | y10 | y11 | y12 | y13 | y14 | y15 |
Таблица легко строится. Для этого надо иметь в виду особенность чередования нулей и единиц по строчкам в правой её части.
Функции двух переменных, представленные в таблице 1.4.1, так же как функции одной переменной, имеют названия. Для них тоже используются определённые индивидуальные значки операций. Исторически сложилось так, что некоторые из функций имеют два и более названий. То же самое получается и со значками операций. При описании функций будем отмечать это обстоятельство.
y0 – «нулевая функция» или «константа нуля», y0 = 0.
y1 – «стрелка Пирса», у1 = x1 
x2.
y2 – «запрет x2», y2 = x1 
x2.
y3 – «инверсия x2», y3 = 
; (переменная x1 для этой функции
фиктивна).
y4 – «запрет x1», y4 = x2 x1.
y5 – «инверсия x1», y5 = ; (переменная x2 для этой функции фиктивна).
y6 – «неэквивалентность» или «сложение по модулю 2»,
y6 = x1 
x2.
y7 – «штрих Шеффера», y7 = x1 / x2.
y8 – «конъюнкция» или «операция И» или «логическое умножение»,
y8 = x1 
x2 = x1· x2 = x1x2.
y9 – «эквивалентность» или «равнозначность», y9 = x1 
x2.
y10 – «повторение x1», y10 = x1, (переменная x2 для этой функции фиктивна).
y11 – «импликация x1», y11 = x2 
x1.
y12 – «повторение x2», y12 = x2, (переменная x1 для этой функции фиктивна).
y13 – «импликация x2», y13 = x1 x2.
y14 – «дизъюнкция» или «операция ИЛИ» или «логическое сложение», y14 = x1 
x2 = x1 + x2.
y15 – «единичная функция» или «константа единицы»,
y15 = 1.
Не все из перечисленных функций реализуют логические операции, обладающие новизной. Так, из таблицы 1.4.1 легко обнаруживаются равенства.
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
; (1.1)
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
То есть, только половина функций может обладать существенной новизной. Кроме того, y0 и y15 есть константы. Они были введены функциями одной переменной. Выражения для y3, y5, y10 и y12 по существу (это вытекает из таблицы 1.4.1) так же являются функциями одной переменной. В итоге получается, что функций двух переменных по видам логического преобразования обладают избыточностью.
Равенства (1.1) дают интересные и важные соотношения. О них мы не раз будем упоминать в дальнейшем. В частности, расшифровка равенств и даёт выражения
, (1.2)
(1.3)
часто используемые в процессе преобразования функций. Попутно заметим, что данные выражения позволяют называть функцию «стрелка Пирса» операцией «ИЛИ – НЕ», а функцию «штрих Шеффера» – операцией «И – НЕ».
1.5.Сложные логические функции. Ранги операций.
Простыми называются логические функции реализуемые с помощью только одной логической операции.
Если число операций два или более, функцию условно называют сложной.
Заметим, сложными могут быть функции с малым числом переменных (одно, два).
Сложные логические функции будут определены, если известен порядок выполнения логических операций. В алгебре логики такой порядок принят. Он объявлен в форме ранга операций: