Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение y^'' = f(x,y,y^') при линейных краевых условиях α₀y(a) − α₁y^'(a) = A,β₀y(b) + β₁y^'(b) = B. Возьмем на отрезке [a,b] систему равноотстоящих узлов x₀ = a,x_k = x₀ + kh(k = 1,2,...,n − 1) с некоторым шагом и заменим приближенно уравнение и краевые условия системой

.

Получаем нелинейную систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными y_k(k + 0,1,2,...,n). Обозначим

.

Решение системы находим методом итераций по следующим формулам:

.

Здесь индекс r наверху означает номер приближения. На каждом шаге итераций приходится решать систему линейных алгебраических уравнений. Используя специальный вид этой системы, можно дать ее решение в явном виде: ,где a,b,A,B,α₀,α₁,β₀,β₁ известны,а Δ и g_ik вычисляются по формулам ,

Заметим, что в правой части формулы только зависит от номера итерации. Таким образом, отыскание решения системы сводится к достаточно простой итерационной схеме.