Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Пусть x₀ = a,x_n = b,x_i = x₀ + ih(i = 1,2,...,n − 1) - система равноотстоящих узлов с некоторым шагом и p_i = p(x_i),q_i = q(x_i),f_i = f(x_i) . Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) и ее производных y^'(x),y^''(x) в узлах x_i через соответственно. Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные y^'(x_i),y^''(x_i) конечно-разностными отношениями , а на концах положим . Используя эти формулы , приближенно заменим уравнение y^'' + p(x)y^' + q(x)y = f(x) и краевые условия системой уравнений

.

Получим линейную алгебраическую систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Более точные формулы получаются, если заменить y^'(x_i),y^''(x_i) центрально-разностными отношениями . Тогда получим систему

.

Оценка погрешности метода конечных разностей имеет вид ,где y(x_i)-значение точного решения при x = x_i,M₄ = max_[a,b] | y⁽⁴⁾(x) | .

В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x),q(x),f(x) заданы таблично с некоторым шагом h. Совершенно естественно такие уравнения решать разностным методом с данным шагом h.