Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Пусть x0 = a,xn = b,xi = x0 + ih(i = 1,2,...,n − 1) - система равноотстоящих узлов с некоторым шагом и pi = p(xi),qi = q(xi),fi = f(xi) . Обозначим получаемые в результате расчета приближенные значения искомой функции y(x) и ее производных y'(x),y''(x) в узлах xi через соответственно. Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные y'(xi),y''(xi) конечно-разностными отношениями , а на концах положим . Используя эти формулы , приближенно заменим уравнение y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) и краевые условия системой уравнений

.

Получим линейную алгебраическую систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными. Решив ее, если это возможно, получим таблицу приближенных значений искомой функции.

Более точные формулы получаются, если заменить y'(xi),y''(xi) центрально-разностными отношениями . Тогда получим систему

.

Оценка погрешности метода конечных разностей имеет вид ,где y(xi)-значение точного решения при x = xi,M4 = max[a,b] | y(4)(x) | .

В практических задачах часто встречаются уравнения, в которых функции p(x),q(x),f(x) заданы таблично с некоторым шагом h. Совершенно естественно такие уравнения решать разностным методом с данным шагом h.