Метод Эйлера

Метод Эйлера относится к численным методам ,дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение y^' = f(x,y) с начальным условием y(x₀) = y₀. Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек x_i = x₀ + ih(i = 0,1,2,...). В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам y_{i + 1} = y_i + hf(x_i,y_i)(i = 0,1,2,...). При этом искомая интегральная кривая y=y(x) , проходящая через точку M₀(x₀,y₀), заменяется ломанной M₀M₁M₂... с вершинами ; каждое звено M_iM_{i + 1} этой ломанной , называемой ломанной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку M_i.

Если правая часть уравения в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям , , то имеет место следующая оценка погрешности:, где y(x_n)-значение точного решения уравнения при x = x_n, , а y_n- приближенное значение, полученное на n-м шаге.

На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет : расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: .

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

с начальными условиями y(x₀) = y₀, z(x₀) = z₀.

Приближенными значения и вычисляются последовательно по формулам