Метод Эйлера

Метод Эйлера относится к численным методам ,дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение y' = f(x,y) с начальным условием y(x0) = y0. Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек xi = x0 + ih(i = 0,1,2,...). В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам yi + 1 = yi + hf(xi,yi)(i = 0,1,2,...). При этом искомая интегральная кривая y=y(x) , проходящая через точку M0(x0,y0), заменяется ломанной M0M1M2... с вершинами ; каждое звено MiMi + 1 этой ломанной , называемой ломанной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку Mi.

Если правая часть уравения в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям , , то имеет место следующая оценка погрешности:, где y(xn)-значение точного решения уравнения при x = xn, , а yn- приближенное значение, полученное на n-м шаге.

На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет : расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения (при шаге h/2) оценивают приближенно так: .

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

с начальными условиями y(x0) = y0, z(x0) = z0.

Приближенными значения и вычисляются последовательно по формулам