Метод последовательных приближений

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y^' = f(x,y) с начальным условием y(x₀) = y₀.

Метод последовательных приближений состоит в том, что решение y(x) получают как педел последовательности функций y_n(x) , которые находятся по рекуррентной формуле . Доказано, что если правая часть f(x,y) в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условию Липшица по y: , то независимо от выбора начальной функции последовательные приближения y_n(x) сходятся на некотором отрезке [x₀,x₀ + h] к решению задачи. Если f(x,y) непрерывна в прямоугольнике R, то оценка погрешности приближенного решения y_n(x) на отрезке [x₀,x₀ + h] дается неравенством , где , а число h определяется из условия . В качестве начального приближения y₀(x) можно взять любую функцию, достаточно близкую к точному решению. Иногда , например, выгодно в качестве y₀(x) брать приближенное решение уравнения , полученное в виде частичной суммы степенного ряда.