Новочеркасск 2012

Лекции

«ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ» (Часть V: Решение систем дифференциальных уравнений)


Оглавление

Задача Коши. 3

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 3

Метод последовательного дифференцирования. 3

Метод неопределенных коэффициентов. 4

Метод последовательных приближений.. 4

Метод Эйлера. 5

Метод Рунге-Кутта. 6

Метод Милна. 6

Дифференциальные уравнения второго порядка. 7

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка 7

Метод прогонки.. 8

Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка 9

Метод Галеркина. 10

Метод коллокации.. 11

Примеры решений. 12

Примеры реализации численных методов решения систем дифференциальных уравнений 12

ЛИТЕРАТУРА.. 18

 


Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения n-ого порядка y(n) = f(x,y,y',...,y(n − 1)) заключается в отыскании функции y=y(x) , удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям , где - заданные числа.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений

заключается в отыскании функций y1,y2,...,yn, удовлетворяющих этой системе и начальным условиям y1(x0) = y10,y2(x0) = y20,...,yn(x0) = yn0.

Систему, содержащую производные высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения новых неизвестных функций можно привести к системе. В частности, дифференциальное уравнение n-ого порядка y(n) = f(x,y,y',...,y(n − 1)) приводится к системе с помощью замены y1 = y',y2 = y'',...,yn − 1 = yn − 1, что дает общую систему:

,

,

...

,

.

Если удается найти общее решение уравнения или системы, то задача Коши сводится к отысканию значений произвольных постоянных. Но найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях; чаще всего приходится решать задачу Коши приближенно.