Лекция 6.

Тема: Формула Дарси. Закон Пуазейля. Турбулентный режим течения жидкости. Опыт Рейнольдса. Осреднение по Рейнольдсу. Формула Блазиуса. Формула Никурадзе. Профиль скорости при турбулентном режиме течения в трубе.

Определив максимальную и среднюю по сечению трубы скорости, вернемся к определению потерь на трение.

Запишем интегральное уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости:

, где постоянная зависит от граничных условий.

Запишем интеграл Бернулли для двух сечений: входного «1» и выходного «2»:

.

Полная входная энергия была бы равна полной выходной, если бы не потери на вязкое трение. Запишем иначе:

,

где - доля энергии, которая перешла в теплоту под влиянием трения.

Все члены в последнем равенстве имеют размерность .

Выразим через некую дополнительную потерю давления за счет трения: и будем находить именно эти потери давления.

На прошлой лекции было показано, что в круглой трубе давление линейно падает пропорционально длине трубы, отсчитываемой от входа:

; .

Но падение давление в трубе как раз и происходит за счет трения, других причин, если площадь поперечного сечения, а следовательно, и скорость постоянны, нет.

Таким образом,

(1)

(2)

(3)

Выражаем гидравлический уклон из (3), максимальную скорость заменяем на удвоенную среднюю и подставляем в (1):

.

Обычно с этой формулой производят некоторые преобразования, цель которых – получить справа произведение двух безразмерных комплексов на скоростной напор, имеющий размерность давления.

Кроме того, договоримся далее опускать индекс у средней скорости и обозначать просто: :

(4)

Стоящий в знаменателе безразмерный комплекс обозначается и называется числом или критерием Рейнольдса:

кинематическая вязкость.

Окончательно, для потерь давления на трение получаем:

(5)

Критерии подобия, такие как число Рейнольдса, используются в теории тепломассообмена для вывода т.н. уравнений подобия. По традиции критерии подобия называют в честь великих ученых. Осборн Рейнольдс показал, что подобие течений определяется одинаковыми числами Рейнольдса в них.

Если обозначить в (5) - коэффициент трения, то получим формулу Дарси:

(6)

Изначально эта формула была получена французским инженером Дарси совсем другим способом – через теорию размерностей. Вообще следует отметить, что в XVIII веке французы очень много занимались гидравликой, что связано со строительством в Париже и других крупных французских городах водопровода и канализации.

Определение коэффициента трения трубы через число Рейнольдса:

называется законом Пуазейля.

Пуазейль был врачем и получил эту формулу, исследуя кровеносную систему человека.

Согласно закону Дарси потери давления на трение пропорциональны первой степени скорости:

.

(Скорость в квадрате в скоростном напоре и скорость в первой степени в знаменателе, в числе Рейнольдса.)

Но в опытах тех же французских инженеров было показано, что пропорциональность наблюдается не всегда, а довольно редко. Значительно чаще , а бывает еще , где.

Разобрался в этом вопросе Рейнольдс, установив опытным путем, что есть два принципиально разных режима течения: ламинарный и турбулентный (есть еще промежуточный, переходный режим).

Все, что говорилось до сих пор, относилось, строго говоря, к ламинарному режиму.