Док-во (для «схемы случаев»)

Рассмотрим опыт, в котором могут произойти события А и В.

Обозначим: n – число возможных элементарных исходов для события А, m – для В; - число исходов, благоприятствующих А, - благоприятствующих В.

Очевидно, для события АВ число возможных элементарных исходов равно (т. к. любой исход для А может сочетаться с исходом для В)

Число исходов, благоприятствующих АВ равно

Р(АВ) = = Р(А) · Р(В).

Теор. 4 Вероятность произведения конечного числа независимых событий равна произведению их вероятностей.

Доказывается методом математической индукции.

Следствие (другая формулировка)

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей.

Примеры 1) найти вероятность того, что при бросании двух монет 2 раза появиться герб(А)

Решение:

- появление «герба» при первом бросании, - при втором, и - независимы.

А = · Р(А) = Р()Р() = .

2) Две урны с шарами. В первой – 5 белых и 3 черных шара, во второй – один белый и 2 черных. Из каждой урны вытаскивают по шару. Найти вероятность того, что вытащат 2 былых шара.

Решение:

- вытащили белый шар из первой урны, - из второй, и - независимы.

А = · Р(А) = Р()Р() =

Теор. 5 (Умножения вероятностей зависимых событий)

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них и условной вероятности второго, вычисленной в предположении, что первое уже произошло.

Р(АВ) = Р(А)(В) = Р(В) (А)

Доказательство (для «схемы случаев»)

Обозначим: n – число всевозможных элемент. исходов опыта, - число исходов, благоприятствующих А, m – благоприятствующих В при условии, что А наступило.

(В) = ; Р(АВ)= (А) · Р(А); Р(А) =

Пример В урне 3 черных и 2 белых шара, из нее 2 раза вытащим по шару. Найти вероятность того, что оба шара белые (А).