Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm_x = y dm = y r(x, y) ds,

dm_y = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ_x = y² dm = y² r(x, y) ds,

dJ_y = x² dm = x² r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Контрольные вопросы:

1.Вычисление двойного интегралав декартовой системе координат.

2. Повторный интеграл.

3. Два типа области интегрирования.

4. Замена переменных в двойном интеграле.

5. Якобиан перехода в криволинейную систему координат.

6. Вычисление двойного интегралав полярной системе координат.

7. Вычисление площади поверхности

8.Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Литература

1. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов: Учебник/ А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. - 9-е изд. - М.: Физматлит, 2003. - 800 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 1/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 304 с.: ил

3. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч. Ч. 2/ П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. - 6-е изд. - М.: ОНИКС; М.: Мир и Образование, 2005. - 416 с.: ил

4. Ильин В.А. Математический анализ: учебник: в 2 ч. Ч. 2/ В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов; под ред. А.Н. Тихонова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ТК Велби; М.: Проспект, 2004. - 368 с.

5. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-ПрессТ.1. - 2002. - 416 с.: ил.

6. Пискунов Н.С.Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т./ Н.С. Пискунов. - М.: Интеграл-ПрессТ.2. - 2002. - 544 с.: ил.

7. Шипачев В.С. Математический анализ: Учеб. пособие для вузов/ Шипачев В.С.. - М.: Высшая школа, 2003. – 176с