Вычисление двойных интегралов
Пусть D - замкнутая область в плоскости Oxy.
◙ Область D называется правильной в направлении оси Oy(Ox),
если всякая прямая l, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю точку D, пересекает границу области в двух точках, т.е. 
.
Таким образом,
◙ D – правильная область в направлении оси Оу, если
D ограничена линиями: y = j 1(x), y = j 2(x), x = a, x =b, причем
j 1(x) £ j 2(x), a < b,
j 1(x), j 2(x) – непрерывны на [a, b] (Рисунок 2.4.1.);
◙ D – правильная область в направлении оси Ох, если
D ограничена линиями: х = y 1(у), х = y 2(у), y = с, у = d, причем
y 1(у) £ y 2(у), с < d,
y 1(у),y 2(у) – непрерывны на [с, d] (Рисунок 2.4.2.).
Рисунок 2.4.1 Рисунок 2.4.2
◙ Правильная область – область, правильная как в направлении оси Ох, так и в направлении оси Оу.
Пусть f (x, y) непрерывна в D.
◙ Выражение 
назовем двукратным интегралом от f (x, y) по области D. Т.е. 
, где 
.
Свойства двукратного интеграла:
1) Если правильную в направлении оси Оу область D разбить на две области D1 и D2 прямой, параллельной оси Оу или Ох, то
.
Следствие.
.
2) (оценка двукратного интеграла) Если m – наименьшее, M – наибольшее значения функции f (x, y) в D, S – площадь области D, то
.
3) (теорема о среднем)Существует точка Р ÎD такая, что
.
Теорема 2. (Вычисление двойных интегралов)
Если f (x, y) – непрерывная функция, D – правильная область в направлении Оу, то 
;
если D – правильная область в направлении Ох, то
.
З а м е ч а н и е. а) Правые части представленных формул являются двукратными или повторными интегралами. Переход от одной формулы к другой называется изменением порядка интегрирования.
б) Если область D не является правильной, то необходимо для начала разбить ее на конечное множество правильных областей.