ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОДЕЗИЯ 2 страница

С

α_с΄ α_Е

Д

α_Д΄ В

Е α_Е'

Рис. 8. Дирекционный угол

Поскольку меридианы в различных точках не параллельны и сходятся к полюсам, то их направления, выраженные полуденными линиями, тоже не будут параллельны. Этот угол между полуденными линиями называется в геодезии сближением меридианов γ. Оно может быть западным (в точке С) и восточным (в точке Д). В пределах зоны оно не может быть более 3˚. Условились считать, что γ_вост.+, γ_зап.-.В пределах координатной зоны линии, параллельные осевому меридиану, не совпадают с географическими меридианами, а образуют с ними некоторый угол, называемый гауссовым сближением меридианов. В восточной половине зоны линии, параллельные осевому меридиану, отклоняются к востоку от географического меридиана, сближение называется восточным и обозначается знаком «плюс». В западной половине зоны линии - отклоняются к западу от географического меридиана, сближение называется западным и обозначается знаком «минус».

γ=Δλ·sinφ φ=0˚ на экваторе

φ=90˚ на полюсе

В пределах 6˚-ой зоны γ_mах=3˚.

Румбом линии называется острый горизонтальный угол, отсчитываемый от ближайшего направления меридиана – северного или южного до направления линии местности. В зависимости от используемого меридиана румбы бывают истинные, магнитные и осевые. Они изменяются от 0˚ до 90˚ и имеют названия по сторонам света (четвертям): СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ. Прямой и обратный румбы в данной точке равны по величине, но противоположны по наименованию. Истинные и магнитные румбы отличаются, кроме того, на величину склонения и сближения меридианов, как и азимуты.

От азимутов и дирекционных углов можно переходить к румбам и обратно,

используя очевидные формулы (рис. 9):

СВ: r=α

ЮВ: r=180˚-α

ЮЗ: r=α-180˚

СЗ: r=360˚-α.

360º С 0º СВ

α

СЗ r

r

α 90º В

З

270º α

α

ЮЗ r r

ЮВ

180º

Рис. 9. Схема румбов и дирекционных углов

4. Связь дирекционных углов и горизонтальных углов полигона

β₁'

1

β₁

2 β₂'

β₅ β₂

β₅' 5

β₄ β₃ 3 β₃'

β₄' 4

Рис. 10. Схема теодолитного хода

Ломаная линия с закрепленными на местности точками излома и с измеренными длинами сторон и горизонтальными углами называется полигоном. Полигоны могут быть разомкнутые и замкнутые (на рис.10 замкнутый полигон). Точки полигона закрепляют временными знаками – деревянными кольями.

β₁, β₂…-внутренние углы – правые; β₁´, β₂´…- внешние углы – левые.

Зная дирекционный угол одной стороны полигона, можно всегда вычислить по горизонтальным углам дирекционные углы всех остальных сторон.

α_1-2 – дано, β₁, β₂…-измерены.

α_1-2

2 α_2-3

3 α_2-3

β₂

α_1-2 α_3-4

β₃

1

β₁ на т. 4

Рис. 11. Связь последующего и предыдущего дирекционных углов полигона

Из рисунка 11 видно, что α_2-3= α_1-2 +180˚ - β₁

α_3-4= α_2-3 +180˚ - β₂

……………………

α_n= α_n-1 +180˚ - β_n - формула для правых углов.

Так как β_прав.=360˚-β´_лев., то для левых углов α_n= α_n-1 + β_n´-180˚.

5. Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки, дирекционному углу и расстоянию до другой определяют координаты последней. При вычислениях чаще всего дирекционные углы переводят в румбы. Прямая геодезическая задача решается и при вычислении координат вершин полигонов.

Дано: х₁; у₁ – координаты начальной точки; α_1-2; α_2-3; α_3-4; α_4-5; α_5-1 - дирекционные углы сторон полигона. d_1-2; d_2-3………………..d_5-1 - горизонтальные проложения сторон полигона. Найти: х₂ и у₂; х₃ и у₃…………..х₅ и у₅. Разница между координатами соседних точек называется приращением координат: х₂ – х₁=Δх_1-2; у₂ – у₁=Δу_1-2. Отсюда

х₂=х₁+Δх_1-2; у₂=у₁+Δу_1-2. Из треугольника следует (рис. 12): Δх_1-2=d_1-2∙cosr_1-2;

Δу_1-2= d_1-2∙sinr_1-2.

Из рисунка 13 следует: х₃=х₂+Δх_2-3; у₃=у₂+Δу_2-3;

Δх_2-3=d_2-3∙cosr_2-3; Δу_2-3= d_2-3∙ sinr_2-3. Перейдем к общему случаю: х_n=х_n-1+Δх_n;

у_n =у_n-1+Δу_n; Δх_n= d_n∙cosr_n; Δу_n= d_n sinr_n.

При вычислениях учитываются знаки приращений координат в зависимости от четверти, в которую направлена линия (см. выше). Если вместо румбов использовать дирекционные углы, то знаки перед приращениями координат получаются сами собой.

Х

2

3

1 Δх_1-2 1

х₂

х₁

Δу_1-2

4 у₂ У

5 у₁

Рис. 12. Решение прямой геодезической задачи для линии 1-2

Х

2

Δх_2-3

3

х₃

Δу_2-3

х₂

У

у₂ у₃

Рис. 13. Решение прямой геодезической задачи для линии 2-3

Координаты n – ой точки полигона можно выразить и через координаты первой точки.

х₂=х₁+Δх_1-2

х₃=х₂+Δх_2-3=х₁+ (Δх_1-2+ Δх_2-3)

х₄=х₃+Δх_3-4= х₁+ (Δх_1-2+ Δх_2-3+ Δх_3-4)

х₅=х₄+Δх_4-5= х₁+ (Δх_1-2+ Δх_2-3+ Δх_3-4+Δх_4-5)

……………………………………………

х_n= х₁+и у_n=у₁+;

и - здесь суммы приращений координат. Отсюда запишем:

х_n - х₁=

у_n – у₁= .

В случае замкнутого полигона, когда, обойдя все вершины поочередно, мы возвращаемся в исходную, х_n - х₁=0 и у_n – у₁=0. Следовательно, для замкнутого полигона сумма приращений координат по обеим осям равна нулю.

_теор.=0 и _теор.=0.

Однако в связи с ошибками в угловых и линейных величинах эта сумма будет несколько отличаться от 0. Мы возвратимся не в точку 1, а в 1΄ (см. рис. 14).

Полученная разница в суммах приращений координат называется невязкой.

_изм.=f_х≠0 – невязка по х;

_изм.=f_у ≠0 – невязка по у.

Для оценки точности полигона вычисляют абсолютную невязку:

(1 - 1΄)=f_абс.=,

а затем относительную ошибку:

f_отн.=; Р – периметр.

Х 2

f_у

1

f_абс. f_х 3

1'

5 4

У

Рис. 14. Виды невязок в полигоне

Если условие неравенства выполняется, полученную невязку по осям координат распределяют в вычисленные приращения в виде поправок, с обратным невязке знаком, пропорционально значениям горизонтальных проложений: большую поправку в большее значение проложения.

Обратная геодезическая задача заключается в вычислении дирекционного угла и горизонтального проложения линии, по известным координатам ее начальной и конечной точек. Из предыдущих рисунков видно, что

d=; tgr=; r=arctgr; d==.

Дирекционный угол находят по полученному румбу, учитывая четверть, в которую направлена прямая. Четверть определяется по знакам приращений координат:

1 четверть α=r; 2 четверть α=180° - r;

3 четверть α=r+180°; 4 четверть α=360° - r.

6.Топографические карты и планы

6.1. Понятие о плане, карте, профиле

План есть уменьшенное и подобное изображение на бумаге горизонтальной проекции сравнительно небольшого участка местности. Размеры участка до 25 км² – в этом случае не учитывается кривизна Земли. Степень уменьшения изображения сравнительно небольшая: 100, 200, 500…5000раз. Для удобства пользования на планах наносится координатная сетка. Планы могут быть: горизонтальными (контурными) высотными и контурно – высотными (топографическими).

координатная сетка километровая сетка

План М 1:1000 Карта М 1:10000

Рис. 15. План, карта

Карта – уменьшенное и закономерно искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение на бумаге горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности. Степень уменьшения больше по сравнению с планом: 10000 раз, 50000….. . Искажения происходят из–за невозможности развертывания сферических поверхностей (геоид, эллипсоид) в плоскость (бумага плоская) без разрывов и складок. На картах наносят градусные и километровые сетки. Все карты контурно – высотные (топографические).

По планам и картам можно решать ряд задач:

1. Определение расстояний между точками.

2. Определение прямоугольных и географических координат точек.

3. Определение абсолютных отметок точек.

4. Ориентирование линий местности.

5. Построение профилей по заданным направлениям.

6. Определение крутизны ската.

7. Определение водосборной площади и другие.

Порядок их решения смотри [5].

Профиль местности есть линия пересечения земной поверхности с отвесной (вертикальной) плоскостью, расположенной в заданном направлении (PQ) (рис. 16). Его уменьшенное изображение на бумаге также называется профилем. Направление сечения может быть прямолинейным, ломаным или криволинейным.

Р

Q

Рис. 16. Профиль

6.2. Цифровые и электронные топографические карты

В последние годы для проектирования сооружений с использованием ЭВМ местность представляют массивом аналитических координат и отметок в виде цифровой модели местности (ЦММ), создаваемой на основе стереофотограмметрических, картографических или полевых топографических измерений. Цифровая карта (ЦК) – цифровая модель местности, записанная на машинном носителе информации в установленных структурах и кодах, сформированная на базе законов картографии в принятых для карт проекции, разграфке, системе координат и высот, по точности и содержанию соответствующая карте определенного масштаба.

ЦММ – называют совокупность точек местности с известными трехмерными координатами и различными кодовыми обозначениями, предназначенную для аппроксимации местности с ее природными характеристиками, условиями и объектами. Общая ЦММ – это многослойная модель, которая в зависимости от назначения может быть представлена сочетанием частных цифровых моделей (слоев): рельефа, ситуационных особенностей, почвенно-грунтовых, гидрогеологических, инженерно-геологических, гидрометеорологических условий, технико-экономических показателей и других характеристик местности.

Математической моделью местности (МММ) называют математическую интерпретацию цифровых моделей для компьютерного решения конкретных инженерных задач.

Необходимая точность модели обязательно должна быть увязана с требуемой точностью решаемых по ней инженерных задач.

При использовании для построения ЦММ материалов традиционных топографических съемок точность ситуационных контуров принимают в соответствии с точностью выполняемых топографических съемок равной 1 мм в масштабе плана. Точность представления рельефа не должна выходить за пределы высоты сечения горизонталей в равнинной местности, высоты сечения – в пересеченной местности и 1 высоты сечения – в горной. Точность ЦММ при использовании материалов топографических съемок, выполненных с помощью электронных тахеометров или приемников спутниковой навигации «GPS», учитывая, что запись информации ведется безошибочно на магнитные носители, зависит главным образом от точности используемых приборов.

При построении ЦММ по существующим топографическим планам и картам характерные точки местности снимают с точностью, принимаемой равной: 0,5 мм – для отображения ситуационных особенностей местности и 0,2, 0,3 и 0,5 высоты сечения – для отображения соответственно равнинного, пересеченного и горного рельефа.

При создании ЦММ по материалам аэросъемок или фототеодолитных съемок точность отображения ситуационных особенностей местности и рельефа определяется точностью считывания фотограмметрических координат, которую обеспечивает тот или иной используемый фотограмметрический прибор.

Для обеспечения необходимой точности аппроксимации рельефа местности плотность исходного массива точек (среднюю удаленность друг от друга) для регулярных и нерегулярных (статистических) моделей принимают:

в равнинной местности – 20 – 30 м;

в пересеченной местности – 10 – 15 м;

в горной местности – 5 – 7 м.

Электронная карта (ЭК) – векторная или растровая топографо-тематическая карта, сформированная на машинном носителе информации в принятой проекции, системе координат и высот, условных знаков, предназначенная для отображения, анализа и моделирования, а также для решения расчетных и информационных задач по данным о местности и обстановке.

В числе многих задач, решаемых с использованием цифровых и математических моделей, являются: оптимальное пространственное трассирование автомобильных дорог, лесовозных дорог и каналов; получение продольных по оси трассы и поперечных инженерно-геологических разрезов; получение исходной инженерно-гидрологической информации для проектирования водопропускных сооружений и системы поверхностного водоотвода (площади водосборов, живые сечения, морфостворы и гидростворы, уклоны логов и их склонов, математическое моделирование стока ливневых и талых вод и т. д.); проектирование системы дорожного поверхностного водоотвода; решение задачи распределения земляных масс и подсчеты объемов земляных работ; решение задач вертикальной планировки; пространственное моделирование полотна автомобильных дорог и прилегающего ландшафта.

6.3.Масштабы

Степень уменьшения горизонтальных проложений линий местности при изображении их на плане или карте называется масштабом.

В геодезии различают масштабы: численный, именованный (словесный), линейный и поперечный. Численный масштаб есть отвлеченная дробь, числителем которой является единица, а знаменателем – число, показывающее во сколько раз уменьшены горизонтальные проложения линий местности при изображении их на плане или карте (иначе – отношение горизонтального проложения линии на плане или карте к горизонтальному проложению той же линии на местности, см. рис. 17).

1:М=ав: АВ ав – горизонтальное проложение линии на плане

АВ – горизонтальное проложение линии на местности

1:М; 1:100; 1:2000; 1:10000……..1см:10000см

Именованный масштаб можно выразить словами: в 1см карты содержится 20 м местности (М 1:2000); в 1см – 100м (М 1:10000). Если горизонтальное проложение линии на местности обозначить S, на плане – d, то можно записать:

d = или S=d·M (пусть d=1 см, S=10 м; 1: М=1:1000).

Чем больше М, тем мельче масштаб, чем меньше М, тем масштаб крупнее.

1:50000 мельче 1:25000 вдвое и т.д.

План

М - ?