Найпростіші властивості сум Дарбу. Крайні інтеграли Дарбу

Суми Дарбу. Зв’язок між інтегральними сумами і сумами Дарбу

Необхідна умова інтегрованості функції за Риманом

Теорема 1.Нехай функція визначена і інтегрована за Риманом на , тоді обмежена на .

Доказ. Припустимо, що функція визначена і інтегрована за Риманом на , але не обмежена на . Візьмемо довільну розбивку: . Оскільки не обмежена на , то вона не обмежена хоча б на одному частковому сегменті . В кожнім частковім сегменті , ,(тобто за виключенням ) оберемо проміжкові точки . Побудуємо суму:

.

Тоді інтегральну суму можна записати в вигляді:

.

Оскільки за припущенням не обмежена на , то суму можна зробити шляхом вибору точки як завгодно великою, а це означає, що не має скінченної границі, а тому функція не інтегрована за Риманом на . Отримала суперечність, тому припущення про необмеженість функції є хибним.

Приклад. Чи буде інтегрованою за Риманом на своїй області визначення функція:

Область визначення функції – сегмент . На цьому сегменті є необмеженою (рис.3), а тому неінтегрованою за Риманом.

Нехай функція визначена і обмежена на , і нехай подана довільна розбивка: . Оскільки обмежена на , то вона обмежена на кожному частковому сегменті . Позначимо:

, . (50)

Побудуємо суми виду:

. (60)

Визначення 5. Суми і називаються відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу для функції на , які відповідають заданій розбивці .

Зауваження. Для будь-якої розбивки існує тільки одна нижня і тільки одна верхня суми Дарбу (а інтегральних сум існує нескінченно багато).

Нехай подана довільна розбивка , а і - нижня і верхня суми Дарбу для функції на , які відповідають заданій розбивці . Для має місце нерівність:

(70)

Помножимо нерівність (70) на і візьмемо суму по всім :

, (80)

тобто (90)

Чи завжди можна сказати, що суми Дарбу є інтегральними сумами, тобто чи завжди на можна знайти точку , що чи ? Відповідь на питання – НІ. Дійсно, якщо функція не є неперервною, то вона не завжди досягає на супремума чи інфімума. Але у випадку, коли неперервна на , а тому і на кожному частковому сегменті , за другою теоремою Вейєрштрасса вона досягає на кожному супремума і інфімума, а суми Дарбу тут одночасно будуть інтегральними сумами.

В загальному випадку і є відповідно інфімумом і супремумом для множини всіх інтегральних сум, збудованих для поданої розбивки .

Теорема 2. Нехай задана розбивка . Якщо до цих точок розбивки додати нові точки, то нижня сума Дарбу не зменшиться, а верхня не зросте.

Доказ. Доведемо для випадку, коли до розбивки додається одна точка (оскільки тоді додавання будь-якої кількості точок можно буде провести за індукцією). Отримаємо розбивку . Доведемо, що .

Нехай попадає в деякий частковий сегмент , при цьому

, , .

Верхні суми Дарбу, які відповідають розбивкам і

(95)

(96)

відрізняються одна від одної лише тими доданками, які підкреслені в формулах (95) і (96). Оскільки , , то

,

звідки отримаємо, що , що й потрібно було довести.

Теорема 3. Будь-яка нижня сума Дарбу не перевищує будь-якої верхньої суми Дарбу, якщо вони навіть відповідають різним розбивкам.

Доказ. Якщо і - нижня і верхня суми Дарбу для функції на , які відповідають одній розбивці , то

.

Нехай тепер є дві довільні розбивки і , і відповідні їм нижня і верхня суми Дарбу: і . Побудуємо нову розбивку . Тоді:

.

Нехай на визначена обмежена функція . Розглянемо множину всіляких розбивок цього сегменту і множини відповідних їм верхніх і нижніх сум Дарбу. Нехай - множина нижніх сум Дарбу, - множина верхніх сум Дарбу. Зрозуміло, що множина обмежена зверху будь-якою верхньою сумою Дарбу, а множина обмежена знизу будь-якою нижньою сумою Дарбу.

Визначення 6. Нижнім інтегралом Дарбу називається:

.

Визначення 7. Верхнім інтегралом Дарбу називається:

.

Визначення 8. Нижній і верхній інтеграли Дарбу називаються крайніми інтегралами Дарбу. Якщо обмежена, то вони завжди існують.

Теорема 4. Нехай функція обмежена на , тоді

.

Теореме без доказу.