Непрерывна, положительна и монотонно убывает в области определения.

Т1. (признак сравнения) Если для двух положительных рядов и , начиная с некоторого номера , выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда – расходимость ряда .

Док-во. Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, то без ограничения общности доказательства можно считать, что неравенство выполняется с первых членов этих рядов. Обозначим -ые частичные суммы этих рядов через и . Пусть ряд сходится и его сумма равна . Следовательно, частичные суммы этого ряда ограничены

сверху суммой ряда, т.е. . Так как и последовательности и неубывающие, то , т.е. ряд сходится. Аналогично доказывается и последнее утверждение теоремы (доказать самостоятельно).

З1. В качестве рядов сравнения чаще всего используют ряды: , который сходится при и расходится при ; , который сходится при и расходится при .

Пример 1. Сравнить ряды и ,выяснить их сходимость.

Необходимый признак сходимости очевидно выполняется для обоих рядов. Ряд сходится по признаку сравнения, так как начиная с первого члена каждый член этого ряда меньше каждого члена ряда , который сходится, так как для этого ряда . В свою очередь, начиная с первого члена каждый член ряда будет меньше каждого члена ряда , следовательно, по признаку сравнения этот ряд также сходится.

2. Признак Даламбера.

Т2. Пусть для положительного ряда существует предел . Тогда при ряд сходится; при ряд расходится, а при признак Даламбера не работает.

Док-во. Пусть . Выберем число такое, чтобы выполнялось двойное неравенство . Так как при отношение , а величина , то существует такой номер , что будет выполняться неравенство , т.е. ; ; ; …; . В силу этих неравенств, начиная с номера каждый член ряда будет меньше каждого члена ряда , который сходится, так как , и представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии