Бесконечно малые величины (б.м.)

▼Функция y=f(x) называется бесконечно малой величиной при , если

. (21)▲

По определению предела равенство означает: для любого числа ε>0 найдётся такое число δ>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-х₀|<δ, выполняется неравенство |f(x)|<ε.

Аналогично определяются б.м. при , , , : во всех этих случаях .

Свойства б.м.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую величину есть бесконечно малая.

3. Частное отделения бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

Теорема. Если функция α(х) - бесконечно малая величина при () (), то функция является бесконечно большой при (). И наоборот, если функция f(x) - бесконечно большая, то функция - бесконечно малая при ().

Теорема. Если функция f(x) имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т.е. если , то f(x)=A+α(x).

Теорема (обратная). Если функцию f(x) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции f(x), т.е. если f(x)=A+α(x), то .