Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
Распределения Максвелла и Больцмана. Явления переноса
План лекции:
1. Закон Максвелла о распределении молекул по скоростям. Характерные скорости молекул.
2. Распределение Больцмана.
3. Средняя длина свободного пробега молекул.
4. Явления переноса:
а).диффузия;
б).внутреннее трение (вязкость);
в).теплопроводность.
Молекулы газа движутся хаотически и в результате столкновений скорости их меняются по величине и направлению; в газе имеются молекулы как с очень большими, так и с очень малыми скоростями. Можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в интервале от и для газа в состоянии термодинамического равновесия в отсутствии внешних силовых полей. В этом случае устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям , которое подчиняется статистическому закону , теоретически выведенному Максвеллом.
Чем больше общее число молекул N, тем большее число молекул DN будет обладать скоростями в интервале оти ;чем больше интервал скоростей , тем у большего числа молекул значение скоростей будет лежать в указанном интервале.
~
Введем коэффициент пропорциональности f(u).
, (1)
где f(u) называется функцией распределения, которая зависит от скорости молекул и характеризует распределение молекул по скоростям.
Если вид функции известен, можно найти число молекул , скорости которых лежат в интервале от до .
С помощью методов теории вероятности и законов статистики Максвелл в 1860г. теоретически получил формулу, определяющую число молекул , обладающих скоростями в интервале от до .
, (2)
- распределение Максвелла показывает, какая доля общего числа молекул данного газа обладает скоростями в интервале от до .
Из уравнений (1) и (2) следует вид функции :
- (3)
функция распределения молекул идеального газа по скоростям.
Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы m0) и температуры.
Наиболее часто закон распределения молекул по скоростям записывают в виде:
График функции асимметричен (рис. 1). Положение максимума характеризует наиболее часто встречающуюся скорость, которая называется наиболее вероятной. Скорости, превышающие uв, встречаются чаще, чем меньшие скорости.
- доля общего числа молекул, обладающих скоростями в этом интервале.
Sобщ.= 1.
С повышением температуры максимум распределения сдвигается в сторону больших скоростей, а кривая становится более пологой, однако площадь под кривой не изменяется, т.к. Sобщ.= 1.
Наиболее вероятной называют скорость, близкой к которой оказываются скорости большинства молекул данного газа.
Для её определения исследуем на максимум.
, 4 ,
, .
, .
Ранее было показано, что
, ,
=> .
В МКТ используют также понятие средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа.
- равна отношению суммы модулей скоростей всех молекул к
числу молекул.
.
Из сравнения видно (рис.2), что наименьшей является uв.