Тензоры напряжений и деформаций
Основные законы МСС
- Законы сохранения, 2-й закон термодинамики, уравнения Максвелла
- Определяющие соотношения: закон Фика, реологические соотношения (т.е. соотношения между деформацией и напряжением).
В двумерных и трехмерных задачах деформации и напряжения в сплошной среде описываются тензорами.
Тензор напряжений sij - сила, действующая в направлении j на единичную площадку, перпендикулярную оси i.
Тензор напряжений – симметричный.
=
Пусть ui является проекцией на ось i перемещения материальной точки с исходным координатным вектором x:
ui =x’i -xi.
Тензор деформаций определяется следующим образом:
uij = ½ (∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi + ∂uk/∂xi ∂uk/∂xj )
Расстояние между бесконечно близкими точками dl изменяется:
dl'2 = dl2 + 2uikdxidxk
Тензор деформаций uij является симметричным: uij = uji.
Значения его компонент зависят от системы отсчета. Но есть комбинации компонент – инварианты тензора, которые не зависят от системы отсчета.
Первый инвариант тензора деформации I1 = относительное изменение объема dV/V.
I1 = ∑ uii
Здесь, как обычно при обращении с тензорами, предполагается суммирование по повторяющемуся индексу.
Реологические определяющие соотношения – это соотношения между компонентами uij и их производными и sij и их производными.
Для многих сред в реологических соотношениях присутствует
тензор скоростей деформаций
eij = ∂uij/∂t