Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Правило Лопиталя.
Лекция 5. Применение дифференциального исчисления.
Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел , если он существует, или установить, что он не существует.
Теорема Лопиталя (Франсуа Лопиталь (1661-1704) – французский математик).
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть, кроме того, и в указанной окрестности точки . Тогда, существует предел отношения производных (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула
=.
Замечание 1. Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получается ==.
Замечание 2.Теорема остается верной и в случае, когда
.
Примеры.
1) ====;
2)=====;
3) ====1.
Будем говорить, что отношение двух функций при есть неопределенность вида , если . Для этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме Лопиталя, если заменить условие на условие,
то теорема остается справедливой.
Примеры. 1) ==== 0.
2)====
=.
Неопределенности вида и можно свести к неопределенностям .