Непосредственное вычисление пределов.
1. В простейших случаях нахождение предела сводится к подстановке предельного значения аргумента в функцию: если f(x) - элементарная функция, определённая в точке а, то 
, например 
;
2. 
, если f(х)®0 при х®а;
3. 
, если f(х)®¥ при х®а;
4. 
, если g(х)®0, f(х)® ¥ при х®а, например 
и т.д.
Найдём ряд пределов, которые понадобятся впоследствии:
5. Докажем, что 
. При х ®+¥ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности, поэтому пределы такого типа называются неопределённостями 
. А).При 
справедливо неравенство 
(оно справедливо при n=2, далее, по индукции: пусть оно верно при произвольном n, тогда n +1< n + n = 2n <2
, т.е. оно верно и при n +1). Следствие: 
, т.е. последовательность 
ограничена. Б). Рассмотрим последовательность 
. 
(как предел произведения ограниченной и бесконечно малой последовательностей). В). Пусть х - произвольное вещественное число, x>0. Тогда 
, где Е(х) - целая часть числа х. Обозначим Е(х)=n. 
. Устремим х ®+¥, тогда и n ®¥. Предел постоянной 0 равен этой постоянной, предел правой части 
. По теореме 4.4.6 о пределе промежуточной функции , что и требовалось доказать. Легко видеть, что это доказательство с небольшими изменениями воспроизводится, если заменить число 4 любым числом а>1, поэтому будем считать доказанным, что 
при а>1.
6. 
при а>1 легко сводится к предыдущему. Пусть 
, тогда 
, у ®+¥ при х ®+¥, и 
.
7. Как следствие 
при а>1, b>1.
8. 
(неопределённость 
) также сводится к первому из рассмотренных пределов. Пусть у=1/х. Тогда х=1/у, у ®+¥ при х ®+0, ln x=ln(1/y)=-ln y, поэтому 
.