ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ.

1⁰.В одинарном интеграле: .

2⁰.В двойном интеграле:

.

3⁰.В тройном интеграле: =

= .

4⁰.В кратном интеграле: если , , и , то

.

Примеры:

1⁰. Вычислить двойной интеграл: .

Область интегрирования – круг единичного радиуса с центром в начале координат.

a). В декартовой системе координат: .

Недостатки: пределы интегрирования не красивые и, кроме того, интеграл не выражается через элементарные функции.

б). В полярной системе координат:

.

При переходе в полярную систему координат не только получился повторный интеграл с удобными пределами интегрирования, но, с учетом того, что внутренний интеграл не зависит от получилось даже произведение двух интегралов Римана.

2⁰. Вычислить , если область D – замкнутая часть плоскости ограниченная кривыми: {y = 2x; y = 4x; xy = 1; xy = 3}.

a). Расставлять пределы интегрирования в декартовой системе координат

расставлять очень не удобно. Поэтому сделаем по другому.

б). Сделаем замену переменных: u = xy, v = ; 1 ≤ u ≤ 3, 2 ≤ v ≤ 4.

Для выполнения замены переменных необходимо найти якобиан . Однако находить его неудобно. Поэтому воспользуемся соотношением:. Тогда . Якобиан положителен, следовательно, ориентация двух систем координат совпадает. И далее:

=…

3⁰. Вычислить интеграл .

I = Þ . Для нахождения полученного двойного интеграла перейдем в полярную систему координат.

= .

Тогда: . Пример показывает что не только двойной интеграл вычисляется с помощью перехода к повторным, но и наоборот.