Теорема о взаимности реакций

Задана любая статически неопределимая стержневая система, например, однопролётная балка, защемлённая на левом конце и шарнирно опёртая на правом. В состоянии i этой балки угловой связи i заделки А зададим поворот по часовой стрелке на единицу (рис. 6.13,а), а в состоянии j – правой опорной связи j линейное перемещение вверх на единицу (рис. 6.13,б). Так как рассматриваемая система статически неопределима, то в её опорных связях, за исключением горизонтальной связи левой опоры А, от упомянутых выше кинематических воздействий возникнут реакции. Горизонтальная связь левой опоры А является абсолютно необходимой и в ней реакция от рассматриваемых смещений связей i и j будет равна нулю (Н_А = 0).

Рис.6.13

На рис. 6.13 в состояниях i и j показаны реакции в смещаемых связях, а именно: r_ii – реакция в i-й связи от её смещения на единицу, r_jj – реакция в j-й связи от собственного смещения на единицу, r_ij – реакция в i-й угловой связи от перемещения j-й линейной связи на единицу, r_ji – реакция в j-й линейной связи от перемещения i-й угловой связи на единицу. К состояниям i и j применим теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)):

W_ext,ij = W_ext,ji.

В нашем случае:

W_ext,ij = r_ii × 0 + r_ji × 1, W_ext,ji = r_jj × 0 + r_ij × 1,

r_ji × 1 = r_ij × 1, или r_ij = r_ji . (6.5)

Работа реакций остальных связей заданного сооружения (на рис. 6.13 – реакция вертикальной связи левой опоры А), не получивших перемещений, в выражения для возможных работ W_ext,ij и W_ext,ji не войдёт.

Равенство (6.5) является математическим представлением теоремы о взаимности реакций: реакция r_ij в i-й связи от перемещения j-й связи на единицу равна реакции r_ji в j-й связи от смещения j-й связи на единицу.

Принцип взаимности реакций, вытекающей из теоремы Бетти как частный случай, справедлив не только для реакций опорных связей различного типа, но и для реакций внутренних связей (изгибающих моментов, поперечных и продольных сил).

Как и в теореме о взаимности перемещений (см. п. 6.2.2), в рассматриваемой здесь теореме о взаимности реакций речь идёт об удельных реакциях, т.е. реакциях, вызванных единичными смещениями связей. Размерность удельной реакции определяется как отношение размерности рассматриваемой реакции к размерности перемещения, вызвавшего эту реакцию. Для удельных реакций r_ij и r_ji, показанных на рис. 6.13, имеем:

[r_ij] = кНсм/см = кН, [r_ji] = кН/рад = кН.

В строительной механике теорема о взаимности реакций известна как первая теорема английского физика Джона Рэлея (1842–1919). Она широко применяется в расчётах статически неопределимых систем методом перемещений.