Характеристические функции

Пусть – случайная величина с функцией распределения вероятностей . Характеристической функцией случайной величины называется копмлекснозначная функция

,

определенная для вещественных .

В частности, если – абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью , то

.

Если – дискретная случайная величина, принимающая значения с вероятностью , то . Заметим, что характеристическая функция есть, с точностью до постоянного множителя, преобразование Фурье–Стилтьеса или, что тоже самое, преобразование Фурье обобщенной плотности .

Основные свойства характеристических функций:

1)

2) – равномерно распределена на числовой оси;

3) – положительно определена, т.е. для любых действительных чисел и любых комплексных чисел выполняется равенство:

4) характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: ;

5) если у случайной величины существует момент порядка , то характеристическая функция имеет непрерывных производных и .

6) комплексная функция действительной переменной является характеристической функцией некоторой случайной величины тогда и только тогда, когда она удовлетворяет свойствам 1)–3) (теорема Бохнера–Хинчина – необходимое и достаточное условие существования характеристической функции случайной величины);

7) если – характеристическая функция, то также характеристические функции;

8) если – характеристические функции, то для любых таких, что и так же является характеристической функцией.

Функция распределения вероятностей однозначно определяется своей характеристической функцией . Имеет место формула обращения: для любых точек непрерывности функции и

Если абсолютно интегрируема, то – абсолютно непрерывна с плотностью распределения вероятностей и

т.е. есть обратное преобразование Фурье характеристической функции .

При нахождении характеристической функции или плотности распределения по характеристической функции иногда бывает полезна следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция , заданная на всей действительной оси, может быть продолжена на верхнюю полуплоскость , а ее аналитическое продолжение не имеет особых точек на действительной оси и в верхней полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордена: является аналитической в верхней полуплоскости , за исключением конечного числа изолированных точек, и равномерно относительно стремится к нулю при . Тогда для

где суммирование ведется по всем особым точкам функции , находящимся в верхней полуплоскости.

Заключение

Задание студентам для самостоятельной учебной работы, список рекомендуемой литературы и методические указания.

1. Решить самостоятельно и прокомментировать примеры.

2. Использованная для подготовки лекции литература:

1) Боровков А.А. Теория вероятностей. - М., "Эдиториал УРСС", 1999.

2) Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -Учеб. Пособие для втузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш.шк., 2000.

3) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. -М.: Высш. шк., 2001.

4) Теория вероятностей: Учебник для вузов. 2-е изд./ А.В. Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001. – 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. XVI).