Сложное отношение четырех прямых пучка.

Лекция 4

Cложное отношение 4-х точек проективной прямой и проективной плоскости, свойства. Выражение двойного отношения через однородные аффинные координаты. Понятие разделенности пар точек.

Сложное отношение является основным инвариантным проективным преобразованием, как простое отношение точек на аффинной плоскости или длина отрезка.

На проективной плоскости возьмем прямую . На прямой рассмотрим проективный репер и четыре различные точки А=, В=, С= и D=.

Определение 4.1. Сложным отношением четырех точек прямой называется число, которое выражается следующей формулой:

(AB,CD)= (1)

Сложное отношение называют также двойным, и суть его состоит в следующем: сложное отношение показывает, в каком отношении пара точек делит пару точек .

Замечание 4.1.1. Если на прямой задан проективный репер , то нетрудно, пользуясь формулой (1), доказать, что сложное отношение будет выражаться так: , где в данном репере.

Понятие сложного отношения четырех точек можно определить и через понятие коллинеарности трех точек на проективной плоскости.

Определение 4.2. Сложным отношением 4-х точек, отличных от базисных, заданных своими координатными столбцами А=, В=, С=, D=называется число, равное отношению отношений , где действительные числа, такие что и .

Координатная запись: , и ,