Векторное произведение векторов.
Векторным произведением двух векторов
называют такой вектор
, модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла a между ними:
Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора
, а одно из его двух возможных направлений находят в соответствии с каким-либо из правил, приведенных ниже.
1) Правило правого винта
Представим себе, что вектор поворачивается по наименьшему углу между векторами к вектору
. Вектор
будет направлен в сторону поступательного движения винта с правой резьбой при вращении его головки в этом же направлении (рис. 9).
2) Правило буравчика
Направим винт буравчика вдоль вектора , а рукоятку буравчика вдоль вектора
(рис. 10 а). Будем вращать рукоятку буравчика так, чтобы его винт поступательно двигался вдоль вектора
. Тогда конец рукоятки буравчика начнет двигаться в направлении вектора
.
3) Правило левой руки
Если четыре пальца левой руки направить по вектору , ладонь расположить так, чтобы вектор
”впивался” в нее, то вытянутый большой палец покажет направление векторного произведения
(рис. 10 б).
4) Правило противочасовой стрелки
Если смотреть с конца вектора на векторы
и
, то кратчайший поворот по наименьшему углу от вектора
к вектору
будет происходить против часовой стрелки (рис. 10 в). Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях.
![]() |
Рис. 10.
Орты декартовой системы координат связаны векторным произведением:С учетом этого векторное произведение векторов
и
можно представить в виде определителя 3-го порядка:
.
Раскрывая определитель, запишем:
Векторное произведение некоммутативно, при перемене мест сомножителей направление вектора меняется на противоположное,
Двойное векторное произведение трех векторов (здесь
- произвольный вектор) находят по формуле “бац” минус “цаб”: