Замена переменных в двойном интеграле

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где – непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что x и y – непрерывно дифференцируемые в Δ функции. Будем также использовать обозначения

.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение квадрируемых областей: . Кроме того, потребуем, чтобы всюду на области Δ не равнялся 0 якобиан отображения
.

Теорема 1.5. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции выполняется равенство

.

►Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку – непрерывная функция.

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому и определённые выше векторы мало отличаются от векторов и , соответственно, и рассматриваемый четырёхугольник представляет собой «почти параллелограмм».

Как известно из курса линейной алгебры, площадь параллелограмма со сторонами

равна модулю определителя, составленного из координат этих векторов,

,

т.е равна . Поэтому при сделанном преобразовании координат интегральная сумма

близка по величине к интегральной сумме

.

Точнее говоря, можно доказать, что соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства, отличаются друг от друга на стремящуюся к нулю величину. Поэтому и интегралы совпадают.◄

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

§5. Переход к полярным координатам. Вычисление

Пусть требуется вычислить по области , которая задаётся в полярных координатах условиями

Сделаем замену переменных

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке (0,0) соответствует целый отрезок на оси . Однако и точка, и отрезок имеет нулевую площадь, и теорема, с учётом замечания, справедлива. Осталось вычислить якобиан преобразования.

Следовательно,

.

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример.

Пример. Найти .

Решение. — это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению,

.

Первый из интегралов — собственный, второй — сходится по 1-й теореме о сравнении, так как при справедливо неравенство,из которого следует, что , а интеграл , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, т.е.

,

имеем

,

где — квадрат, а — четверти круга, соответственно, радиусов и . Так как , то по свойствам 2 , 3 двойного интеграла

.

В интеграле перейдем к полярным координатам:

.

Аналогично,

и .

При стремлении к получаем, что

, то есть .

Глава 2. Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемое множество . Считаем, что оно ограничено конечным числом кусочно-гладких поверхностей . Разбиение на части также осуществляется кусочно- гладкими поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения множества на части и для выбранных точек интегральную сумму

,

где обозначает объем части .

Определение. Пусть такое число, что .

Тогда мы говорим, что функция интегрируема на множестве , число есть интеграл функции по множеству и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются свойства 1-6. Полезное упражнение - переформулировать их для тройного интеграла .

Теорема 2.1. Ограниченная на кубируемом множестве функцияинтегрируема тогда и только тогда, когда

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема 2.2. Если функция непрерывна на кубируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.