Вычисление двойного интеграла сведением к повторному
Вычисление двойных интегралов
Двойной интеграл – новый объект и мы укажем способ его вычисления сведением к повторному вычислению определённого интеграла. Сначала рассмотрим двойной интеграл по прямоугольной области стороны которой параллельны осям координат.
Теорема 1.3. Пусть для функции существует двойной интеграл по области . Кроме того, пусть для любого существует .
Тогда существует и интеграл, называемый повторным:
и выполняется равенство
(2)
►Разобьём прямоугольник на прямоугольники, обозначенные , прямыми, проходящими параллельно оси через точки и прямыми, параллельными оси и проходящими через точки Таким образом,
Пусть , числа и , соответственно, равны нижней и верхней граням функции на откуда Проинтегрируем эти неравенства по на отрезках :
Суммируя эти неравенства по от до , получаем.
Умножим все части этих неравенств на и суммируем полученные неравенства по от до :
.
Поскольку , эти неравенства можно переписать в виде
или
,
где – разбиение на прямоугольники При стремится к нулю и величина . Кроме того, при также . Значит, интеграл существует и равен , что и утверждалось.◄
Замечания.
- В случае, когда непрерывна на все условия теоремы выполняются и равенство (2) справедливо.
- Сравните эту теорему с теоремой из приложения 1.Отметим, что интеграл представляет собой собственный интеграл, зависящий от параметра.
Рассмотрим случай криволинейной трапеции. Справедлива такая теорема:
Теорема 1.4 (Фубини). Пусть область задана неравенствами , где . Пусть существует и для любого существует . Тогда существует интеграл и он равен .
►Так как непрерывна на , существует её минимальное значение на этом отрезке. Аналогично, существует мак в прямоугольник , состоящий из точек , , . На этом прямоугольнике рассмотрим функцию
Условия предыдущей теоремы для функции , выполнены. Она интегрируема в , равна 0 (и, значит, интегрируема) в . Следовательно, она интегрируема на всём множестве . При этом
.
Наконец, для любого выполнено равенство
.
По доказанному в предыдущей теореме,
,
Откуда сразу получаем:
,
что и требовалось доказать.◄
Следствие: Пусть ) непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , где , a по бокам - отрезками вертикальных прямых х = а и х = b. Тогда
.
►Из непрерывности сразу следует её интегрируемость на . Кроме того, для любого функция непрерывна (а, значит интегрируема по у). Все условия теоремы выполнены. ◄
Замечание. Если область можно ограничить так:
, , то
.
Смысл этих теорем ясен – указан способ сведения двойного интеграла к собственным интегралам, зависящим от параметра.