Свойства двойных интегралов

Критерий интегрируемости

Критерий существования определённого интеграла формулировался в терминах сумм Дарбу, т.е. сумм вида , , где , , то есть - нижняя грань, а - верхняя грань значений при .

Рассуждая аналогично, рассмотрим для ограниченной на квадрируемом множестве функции числа , (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности функции на и, значит, на всех . Определим суммы Дарбу равенствами , . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно, и . Ясно, что для любого разбиения при любом выборе точек выполнены неравенства между суммами Дарбу и интегральной суммой, соответствующей этому выбору точек: .

На рисунке изображены тела, объёмы которых равны суммам Дарбу.

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий существования двойного интеграла.

Теорема 1.1. Ограниченная на квадрируемом множестве функция интегрируема тогда и только тогда, когда

Свойство 1. Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции, а числа, то

.

Иными словами, интеграл - линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на объединении квадрируемых множеств , то

,

причем если площадь пересечения равна 0, то . (Аддитивность интеграла по множеству).

Свойство 3.Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция и , то .

Свойство 4.Если - интегрируемые на квадрируемом множестве функции и , то .

Свойство 5. Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция , причем .

Свойство 6.Если- интегрируемая на квадрируемом множествефункция , то функция – также интегрируемая, причем где т, М ограничивающие множество значений функции числа, то выполняются неравенства ,

т.е. существует число , удовлетворяющее неравенствамдля которого

.

Если, кроме того, множество – связное* и- непрерывна на нём, то существует точка, для которой

.

Доказывать эти свойства мы не будем, поскольку их доказательства вполне аналогичны доказательствам свойств обычного интеграла.

В конце п.1.2. отмечено, что если -непрерывная на множестве функция, то -интегрируема на . Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа спрямляемых линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (на которых непрерывна и, значит, интегрируема).

*Примечание. Связным множеством на плоскости назовем такое множество, любые две точки которого можно соединить кусочно-гладкой кривой, лежащей в этом множестве.