Доказательство

Обозначим и вычислим этот двойной интеграл, сведя его к повторному интегралу и расставляя для области пределы, считая переменной внешнего интегрирования (рис. 6).

Рис. 6.

.

,

поскольку кривая обходится в отрицательном направлении .

Обозначим и вычислим этот интеграл, задавая область интегрирования неравенствами: .

.

Вычислим криволинейный интеграл, складывая интегралы и , и получим формулу Грина.

.

Задача

Вычислите криволинейный интеграл, используя формулу Грина, где эллипс .